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1、中档解答题中档解答题( (一一) ) 1.已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1. (1)证明数列an是等比数列; (2)设 bn=(2n-1)an,求数列bn的前 n 项和 Tn. 2.如图,已知点 O 为ABC 的外心,BAC,ABC,ACB 的对边分别为 a,b,c,且 2+3+4 =0. (1)求 cosBOC 的值; (2)若ABC 的面积为,求 b2+c2-a2的值. 15 3.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形 ABCD 为菱形,A1A=AB=2,ABC= ,E,F 分别 3 是 BC,A1C 的中点. (1)求异面直线 EF,AD 所成
2、角的余弦值; (2)点 M 在线段 A1D 上,=,若 CM平面 AEF,求实数 的值. 1 1 4.某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的 8 次数学周练中,统计解答题失分的茎叶图如下: (1)比较这两名同学 8 次周练解答题失分的平均数和方差的大小,并判断哪位同学做解答题 相对稳定些; (2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名同学 在同一次周练中失分多少互不影响,预测在接下来的 2 次周练中,甲、乙两名同学失分均超 过 15 分的次数 X 的分布列和均值. 5.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(t 为参数),圆 C2:(x-2)2+y2
3、=4,以 = , = ? 坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2的极坐标方程和交点 A 的极坐标(非坐标原点); (2)若曲线 C3的极坐标方程为 = (R),设 C2与 C3的交点为 B(非坐标原点),求OAB 4 面积的最大值. 6.设函数 f(x)=|x-a|+2x,其中 a0. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)2x+1 的解集; (2)当 x(-2,+)时,恒有 f(x)0,求 a 的取值范围. 答案全解全析答案全解全析 1. 解析 (1)证明:当 n=1 时,a1=S1=2a1-1,解得 a1=1; 当 n2 时,Sn-1=2an-1-1,
4、又 Sn=2an-1, 所以 an=2an-2an-1,n2, 即 an=2an-1,n2, 所以an是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 bn=(2n-1)2n-1. 则 Tn=11+321+522+(2n-1)2n-1, 2Tn=2+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 两式相减得-Tn=1+221+222+22n-1-(2n-1)2n =1+2-(2n-1)2n 2 (1 - 2 - 1) 1 - 2 =1+4(2n-1-1)-(2n-1)2n =2n+1-3-(2n-1)2n =(3-2n)2n-3, 所以 Tn=2n(2n-3)+3. 2.
5、解析 (1)设ABC 外接圆的半径为 R, 由 2+3+4=0 得 3+4=-2, 两边平方得 9R2+16R2+24R2cosBOC=4R2, 所以 cosBOC=- . - 212 242 7 8 (2)由题意可知BOC=2BAC,BAC,cosBOC=cos 2BAC=2cos2BAC-1=- ,从而 ( 0, 2) 7 8 cosBAC= , 1 4 所以 sinBAC=, 1 - 2 15 4 ABC 的面积 S= bcsinBAC=bc=,故 bc=8, 1 2 15 8 15 从而 b2+c2-a2=2bccosBAC=28 =4. 1 4 3. 解析 因为四棱柱 ABCD-A1
6、B1C1D1为直四棱柱,所以 A1A平面 ABCD. 又 AE平面 ABCD,AD平面 ABCD,所以 A1AAE,A1AAD. 在菱形 ABCD 中,ABC= ,连接 AC,则ABC 是等边三角形. 3 因为 E 是 BC 中点,所以 BCAE. 因为 BCAD,所以 AEAD. 以,为正交基底建立空间直角坐标系,如图. 1 则 A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(,0,0),F. 33 ( 3 2, 1 2 ,1 ) (1)=(0,2,0),=,所以=1. ( - 3 2, 1 2 ,1 ) 从而 cos=. | 2 4 故异面直线 EF,AD 所成
7、角的余弦值为. 2 4 (2)设 M(x,y,z),由于点 M 在线段 A1D 上,且=, 1 1 则=,即(x,y,z-2)=(0,2,-2), 11 则 M(0,2,2-2),所以=(-,2-1,2-2). 3 设平面 AEF 的法向量为 n=(x0,y0,z0). 因为=(,0,0),=, 3 ( 3 2, 1 2 ,1 ) 所以 n=0,n=0,得 x0=0, y0+z0=0. 1 2 取 y0=2,则 z0=-1, 则平面 AEF 的一个法向量为 n=(0,2,-1). 由于 CM平面 AEF,则 n=0,即 2(2-1)-(2-2)=0,解得 = . 2 3 4. 解析 (1)=
8、(7+9+11+13+13+16+23+28)=15, 甲 1 8 = (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, 乙 1 8 = (-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132=44.75, 2 甲 1 8 = (-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82=32.25. 2 乙 1 8 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等;甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分 的方差大. 所以乙同学做解答题相对稳定些. (2)根据统计结果,在一次周练中,甲和乙失分超过 15 分的概率分别为 P1= ,P2= , 3 8 1 2 两人失分均超
9、过 15 分的概率为 P1P2=, 3 16 X 的所有可能取值为 0,1,2.依题意,XB, ( 2, 3 16) P(X=k)=,k=0,1,2, 2( 3 16) (13 16) 2 - 则 X 的分布列为 X012 P 169 256 39 128 9 256 X 的均值 E(X)=2= . 3 16 3 8 5. 解析 (1)由(t 为参数)得曲线 C1的普通方程为 y=xtan ,故曲线 C1的极 = , = ? 坐标方程为 =(R).将 x=cos ,y=sin 代入(x-2)2+y2=4,得 C2的极坐标方 程为 =4cos .故交点 A 的极坐标为(4cos ,). (2)由题意知,B 的极坐标为. ( 2 2, 4) SOAB=| 1 2 2 2 4 ( 4 - )| =, |2 2( 2 - 4) - 2 | 故OAB 面积的最大值是 2+2. 2 6. 解析 (1)当 a=2 时,由|x-2|+2x2x+1, 得|x-2|1,x3 或 x1, 故原不等式的解集为(-,13,+). (2)f(x)= 3 - , , + , 0,当 xa 时,3x-a2a0 恒成立, 当 x-2+a,只需-2+a0 即可,所以 a2.
