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1、 2017年第三届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准 1.已知一数列的前3项依次为2，4，16。根据你的观察，请写出数列的第4项，并写出你的判断理由（至少要写出三种可能的结果）。参考答案：（1）128；规律为，其2的次幂依次多1，多2，多3等等；（2）256；规律为， 其2的次幂依次翻倍，依次为1，2,4,8，等等；（3）96；规律为：后项依次为前项乘以2,4,6，8等等，其各项依次为2，22=4, 44=16,166=96,968=768，等等；2（4）36；规律为：2=1+11，4=1+13, 16 =1+35,36=1+57，等等；（5）106；规律为：2=1+11，4=1+13,
2、 16 =1+135, 36=1+1357，等等评分标准：本题为结论开放题，答案不唯一。写出一个答案并说明规律给3分，写出四个答案并说明规律给满分。 2观察下列式子： ，.(1)根据你发现的规律写出接下来的一个等式：_；（2）你能用含自然数 n 的代数式写出一个一般性的等式吗？ 21世纪教育网版权所有答：_; 请根据你写出的一般等式计算： 2006200820102012+16=_. 参考答案规律：等式左端是四个连续奇数或连续偶数相乘；右端是一个完全平方数，其基数是中间两数相乘减4，或者两端两数相乘加4，或者中间两数的算术平均的平方减5.答案为(1) ,(2)等2006200820102012
3、+16=， 评分标准：第一问占4分；第二问第一式占4分，第二式占2分。3. 本题分两部分，每部分5分。（1）2008年冬季湖南省遭受雪灾，在其境内一段笔直的高速公路上依次停着100辆受阻的汽车，救援部队要设置一个临时食品供应站P，使这100辆汽车到供应站P的距离总和最小，供应站P应设在何处？（写出解答过程）21cnjy（2） 利用上述问的解题规律计算式子：的最小值？（写出解答过程）参考答案：（1）通过2辆车、3辆车、4辆车试验可以发现：当车辆为偶数n时，P应设在第辆与辆之间的任何地方都行，此时，这n辆车到供应站P的距离总和最小；当车辆为奇数n时，P应设在正中间的第辆车处，此时，这n辆车到供应站
4、P的距离总和最小故当车辆数为100时，P应设在50至51之间任何地方都行。（2） 可以看成x所对应的点到1至20这20个点的距离之和。所以当10x11时，比如x=10.5，取最小值为9.5+8.5+7.5+.+0.5+0.5+1.5+.+7.5+8.5+9.5=100评分标准：第一问占5分,从特殊到一般，说出结论，简单解释即可；第二问占5分，能够正确联想到第一个问题可得3分，得出结果得2分。4. 将数字-2、-3、-5、8、9、11书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子。分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，问柱体A和柱体B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？说明
5、你的理由。21教育网参考答案：要点是通过局部信息、片段信息发现整体信息，关键要找出每个数的对面是什么数，依据是排除其相邻的数字，再综合使用其他信息。观察图A 和B 所示的两个柱体可知：(1)因为与数字2相邻的四个面上的数字分别是3、5、8、9。所以数字2对面上的数字是11(2)因为与数字8相邻的四个面上的数字分别是3、2、11、9。所以数字8对面上的数字是5。根据（1）、（2）可知：3对面的数字是9。所以，A 柱体表面（不含底面）点数之和=（-3+8-5+11-2）+（-2+9-3+11）+（8-5+11-2）=36，B柱体表面（不含底面）点数之和=（-2+8+9-3-5）+（11-3-2+9
6、）+（8-3-5+9）=31，评分标准：思路正确得4分；两个结论正确各得3分。5. 在一张正五边形的纸片内有2007个点，加上5个顶点共有2012个点。（1）如果这些点中任意3个点都不在同一条直线上，现在以这2007个点为顶点，把纸片剪开，最多剪出_个三角形（任意两个三角形没有重叠），写出推算过程；（2）如果这2012个点中，有三个或三个以上的点共线，你能确定最多剪出的三角形个数吗？说明你的结论和理由。【出处：21教育名师】参考答案：（1）4017；（2）可以确定，结论不变。如图，从简单的数字入手寻找规律，当正五边形内有2个点时，可以剪出7个三角形；当正五边形内有3个点时，可以剪出9个三角形；
7、当正五边形内有4个点时，可以剪出11个三角形；.当正五边形内有n个点时，可以剪出（3+2n）个三角形；当n=2007时，可以剪出4017个三角形。原因是：任意3个点都不在同一条直线上，这说明，每增加一个点，这个点必落在某一个三角内，这样原来的1个三角形就可以一分为三，多出两个。（2） 如果这2012个点中，有三个或三个以上的点共线，仍然可以剪出4017个三角形。原因是，每增加一个点，这个点或者落在某一个三角内，或者落在某一个三角的边上，前者当然增加两个三角形，而后者会将共用该边的两个三角形各拆分为2，仍然会增加两个三角形，因此结论不变。www-2-1-cnjy-com评分标准：两小题各为5分。
8、每小题答案正确得2分，说明理由得3分。6. 某场考试由10 道判断题构成，要求考生用画“”和画“”表示对各题的正误判断，每题判断正确得10 分，判断错误不得分。请根据如下甲、乙、丙3 名考生的判断及得分结果，算出考生丁的得分， 写出你的分析过程。 21*cnjy*com丁得了_分. 参考答案：90 因为甲、乙共得140 分,所以甲、乙共错6 题.而甲、乙有6 道题的答案不一致,所以错的6 题就在这6 题中,两人答案一致的2,3,7,10 题都答对了.丙得60 分,错4 题.对照2,3,7,10 题的正确答案,丙全错了,所以丙的其余题都答对了.丁除了第3 题外都答对了,应得90 分. 评分标准：
9、通过甲乙的得分判断出甲的2、3、7、10题正确得4分；根据丙的得分并与甲乙对比，判断出全部正确答案再得4分；给出丁的正确得分再得2分。【来源：21世纪教育网】7. 已知（其中都是介于0和9之间的整数），若小数点后连续n个数字之和写出你的理由。参考答案：因为，观察知：循环小数中的一个循环节中的6个数字之和是27.而2013=2774+15.因为1+4+2+8=15，所以评分标准：找到1/7的小数循环性得3分；算出每个循环节数字之和再得1分；想到用周期性的思路，把2013分拆为74个周期多15得3分；据此得出正确答案再得3分。8 把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行，中
10、间用虚线围成一列，从上到下依次为1、5、13、25、，则在中间这列数中，第行的数是76，写出推算过程。参考答案：20 解决问题的突破口在于寻找这列数所蕴涵的内在规律，只有知道规律才可以写出所求的数先观察分析这4个数之间的联系。为了探索的方便不妨记www.21-cn-。我们发现：，,.猜想：，（n是正整数），于是以上各等式两边相加得：即：依题意有：，解这个方程得：n=20或n=-190舍去。所以n=20，即在中间这列数中，第20行的数是761评分标准：发现正确规律得5分；得到正确答案再得5分。9.将下表的方格中的7个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的3个数字之和都相等，则表中左上
11、角的数字是多少？写出推算过程。21教育名师原创作品2012-2010参考答案：1 如图所示，设图表中左上角的数字是x，相应的方格中的数字记为a 、b 、c 、d 。xabc2012-2010d依题意有：x+a+b=x+c+d=a+c-2010=b+2012+d于是2x+a+b+c+d=a+b+c+d+2012-2010即2x=2，x=1.评分标准：能够恰当应用问题给出的关系，列出正确式子得5分；得到正确答案再得5分。10 棱长为n厘米（n为正整数）的正方体，表面涂成红色。现在将该正方体分割成棱长为1厘米的小正方体，将这些大小、形状相同的小正方体放在一个箱子中，混合均匀，然后从箱子中随机摸的一个
12、小正方体。记摸出的小正方体表面有一面是红色的概率为，摸出的小正方体表面有两面是红色的概率为，已知。（1）有多少块六面都没有涂上红色的小正方体？（2）求随机摸到有3个面是红色的小正方体的概率是多少？参考答案：（1）216；（2）1/64 通过实验观察可知：小正方体一共有块；其中有一面是红色的只能分布在原正方体的6个表面非边沿处，一共有个；有2面是红色的只能分布在原正方体的12条棱而不在角的部分，一共有个，依题意有：，化简得：n-2=6，n=8.于是，（1） 四面都没有涂上红色的小正方体的个数=。（2） 小正方体一共有512块，其中有3个面是红色的只有8块，故随机摸到的小正方体有3个面是红色的概率
13、是。21世纪*教育网评分标准：能够正确给出有一面红色、两面红色的小正方体数量得3分；通过题意解出n得1分；算出四面都没有涂上红色的小正方体的个数得3分；算出概率再得3分。11操作题（1）如图1:在正方形ABCD内，与线段PQ长度相等且端点在正方形边上的线段有多少类？每类分别在图1样板图中画出一条线段作代表，并说明它的特点。（2）如果一个正方形的四条边被擦去，只在每条边上留下了一个点（不在顶点，如图2），请你重新画出这个正方形，说明你的做法。图1图2参考答案：（1）分如下两大类，八小类：一、与线段PQ长度相等且端点在正方形的对边上的线段横向、纵向各两类（平行与交叉）：二、与线段PQ长度相等且端点
14、在正方形的两条邻边上的线段，底边点左右两侧、顶边点左右两侧各两类。具体作图方法如下：1以点P 为圆心，PQ长为半径画圆，与正方形的另外三边相交，可以画三条符合题意的线段；2以点Q为圆心，PQ长为半径画圆，与正方形的另外两边相交，可以画1条符合题意的线段；3在AB边上任意取一点R，以R为圆心，PQ长为半径画圆，与正方形的另外两边相交，可以画2条符合题意的线段；2-1-c-n-j-y4在CD边上任意取一点R，以R为圆心，PQ长为半径画圆，与正方形的另外两边相交，可以画2条符合题意的线段；5与线段PQ平行且相等；6与线段PQ垂直且相等；（2）画正方形的方法（如图，答案不唯一，仅供参考；也可以借助（1）实现）。1依次连接点E、H、E、G，记线段FH、HE、EG、GF的中点分别为P、Q、R、S。分别以P、Q、R、S点为圆心，以FH、HE、EG、GF的长度为直径作圆；2在圆P上取一点A，作射线AF与圆Q相交于点D；3作射线DG与圆R相交于点C；4作射线CE与圆S相交于点B；连接BA，则作出正方形ABCD；评分标准：两个小题各5 分.第一题，分类方法可能不尽一致，每给出1 种类型得1 分，达到
