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1、辽宁凌源市2018届高三毕业班一模抽考数学（理）试题含答案凌源市教育局高三“抽考”数学试卷（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）A B C D3.下列说法正确的是（ ）A若命题，则，B已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均增加个单位C命题“若圆与两坐标轴都有公共点，则实数”为真命题D已知随机变量，若，则 4.如图，在边长为的正方形中，是的中点，过，三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部
2、分的概率是（ ）A B C. D5.已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C. D6.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）A B C. D.7.20世纪70年代，流行一种游戏角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数，按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的值为，则输入的值为（ ）A B C.或 D或或8.在的二项展开式中，若第四项的系
3、数为，则（ ）A B C. D9.已知等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）A B C. D10.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）A B C. D11.如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ）A B C. D12.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）A B或 C.或 D或或第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则实数 14.设实数，满足不等式组则的最大值为 15.已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为
4、16.已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在中，角，的对边分别为，且有.（1）求角的大小；（2）当时，求的最大值.18. 某调查机构随机调查了岁到岁之间的位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照，分成组，绘制成频率分布直方图（如图）.（1）求频率分布直方图中实数的值及这位网上购物者中年龄在内的人数；（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的位网上购物者中随机抽取人，再从这人中任选人，设这人中年龄在内的人数为，求的分布列和数学期望.19. 如图，菱形与
5、四边形相交于，平面，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面成角的正弦值.20. 已知椭圆的两个焦点为，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.21. 已知函数（是常数）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数有零点，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐
6、标方程；（2）设是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）当时，证明：.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）因为，由正弦定理，得，即，即.因为在中，所以，所以，解得.（2）由余弦定理，得，即，故，当且仅当时，取等号.所以，即的最大值为.18.解：（1）由频率分布直方图，可得，得.则这位网上购物者中年龄在内的频率为，故这位网上购物者中年龄在内的人数为.（2）由频率分布直方图可知，年龄在内的人数与其他年龄段的总人数比为，由分
7、层抽样的知识知，抽出的人中年龄在内的人数为，其他年龄段的总人数为.所以的可能取值为，.，所以的分布列为012故的数学期望.19.（1）证明：取的中点，连接，.因为为菱形对角线的交点，所以为中点.又为中点，所以，又平面，平面，所以平面.又因为，分别为，的中点.所以，又因为，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.（2）解：连接.设菱形的边长，则由，得，.又因为，所以.则在直角中，所以.由平面，得平面.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，.设为平面的一个法向量，则即.令，得，所以.又，所以.设直线与平面所成角为
8、，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.20.解：（1）由离心率，半焦距，解得.所以.所以椭圆的方程是.（2）解：设，据得直线与椭圆有两个不同的交点，又，所以且.由根与系数的关系得，设线段中点为，点横坐标，线段垂直平分线方程为，点坐标为，点到直线的距离，又，所以，所以当时，三角形面积最大，且.21.解：（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减.当时，因为，令，解得或.当时，函数在上有，即，函数单调递增；函数在，上有，即，函数单调递减；当时，函数在，上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为.（2）当时，由，可得，故满足题意.当时，函数在上单调递增，在上单调递减，（i）若，解得.可知时，是增函数，时，是减函数，由，在上，解得，所以；（ii）若，解得.函数在上递增，由，则，解得.由，所以.当时，函数在上递增，解得，综上所述，实数的取值范围是.22.解：（1）因为，所以曲线的普通方程为.又，展开得，即，因此直线的直角坐标方程为.（2）设，则点到直线的距离为，等号成立当且仅当，即时等号成立，即，因此点到直线的距离的最大值为.23.（1）解：由，得，即，解得，所以.（2）证明：（证法一）因为，所以，所以，又，故.（证法二）因为，故，而，即，故.
