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1、 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 M=-1,0,1，N=x|x2x，则 MN= A.0 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,0 【答案】B 【解析】 0,1N M=-1,0,1 MN=0,1. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出 0,1N ,再利用交集定义得出 MN. 2.命题“若 = 4 ，则 tan=1”的逆否命题是 A.若 4 ，则 tan1 B. 若 = 4 ，则 tan1 C. 若 tan1，则
2、 4 D. 若 tan1，则 = 4 【答案】C 【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q” ，所以 “若 = 4 ，则 tan=1”的逆 否命题是 “若 tan1，则 4 ”. 【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是 【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆 柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视 图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如
3、图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 （xi，yi） （i=1，2，n） ，用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的 是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x，y） C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 58.79kg 【答案】D 【解析】 【解析】由回归方程为 y=0.85x-85.
4、71 知y随x的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关 关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知()ybxabxybx aybx，所以回归直线过 样本点的中心（x，y） ，利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确 的答案，易错. 5. 已知双曲线 C ： 2 2 x a - 2 2 y b =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 A 2 20 x - 2 5 y =1 B. 2 5 x - 2 20 y =1 C. 2 80 x - 2 20 y =
5、1 D. 2 20 x - 2 80 y =1w#ww.zz （2）若在曲线段ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC 内的概率为 . 【答案】 （1）3；（2） 4 【解析】 （1）( )yfxcos()x，当 6 ，点 P 的坐标为（0， 3 3 2 ）时 3 3 cos,3 62 ； （2）由图知 2 22 T AC ， 1 22 ABC SAC ，设,A B的横坐标分别为, a b. 设曲线段ABC与 x 轴所围成的区域的面积为S则 ( )( )sin()sin()2 b b a a Sfx dxf xab ，由几何概型知该点在ABC 内的概率为 2 24 ABC S
6、P S . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等， （1）利用点 P 在图像上求， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得. 16.设 N=2n（nN*，n2） ，将 N 个数 x1,x2,，xN依次放入编号为 1,2，N 的 N 个位置，得到排 列 P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 2 N 和后 2 N 个位置，得到排列 P1=x1x3xN-1x2x4xN，将此操作称为 C 变换，将 P1分成两段，每段 2 N 个数， 并对每段作 C 变换，得到 2 p；当 2in-2 时，将 Pi分成 2i段，每段 2i
7、 N 个数，并对每段 C 变换，得 到 Pi+1，例如，当 N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7位于 P2中的第 4 个位置. （1）当 N=16 时，x7位于 P2中的第_个位置； （2）当 N=2n（n8）时，x173位于 P4中的第_个位置. 【答案】 （1）6；（2） 4 3 211 n 【解析】 （1）当 N=16 时, 012345616 Px x x x x xx,可设为(1,2,3,4,5,6,16), 113571524616 Px x x xx x x xx,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,16), 2159133711 152616 P
8、x x x x x x x x x xx,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,16), x7位于 P2中的第 6 个位置,； （2）方法同（1）,归纳推理知 x173位于 P4中的第 4 3 211 n 个位置. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客 的相关数据，如下表所
9、示. 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上 顾客数（人）x3025 y 10 结算时间（分钟/人）11.522.53 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55. （）确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望；&%中国教育出版网*# （）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前 的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. （注：将频率视为概率）中%#国教*育出版网 【解析】 （1）由已知,得251055,35,yxy所以15,20.xy 该超市所有顾客一
10、次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视 为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 153303251 (1), (1.5), (2), 10020100101004 p Xp Xp X 201101 (2.5), (3). 100510010 p Xp X X的分布为 X11.522.53 P3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 X 的数学期望为 33111 ()11.522.531.9 20104510 E X . （）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” ，(1,2) i X i 为该顾客前面第i位顾客 的结算时间，
11、则 121212 ( )(11)(11.5)(1.51)P AP XXP XXP XX且且且. 由于顾客的结算相互独立，且 12 ,XX的分布列都与 X 的分布列相同，所以 121212 ( )(1)1)(1)(1.5)(1.5)(1)P AP XP XP XP XP XP X( 3333339 20202010102080 . 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9 80 . 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能 力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55知 2510100 55%,3
12、5,yxy从而解得, x y，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和 期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. 18.（本小题满分 12 分） 如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90， E 是 CD 的中点.来源%:*中#国教育出版网 （）证明：CD平面 PAE； （）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【解析】 解法 1（如图（1） ） ，连接 AC，由 AB=4，3BC ，
13、905.ABCAC , 得 5,AD 又是的中点，所以.CDAE ,PAABCD CDABCD平面平面所以.PACD 而,PA AE是平面PAE内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE. （）过点作,.BGCDAE ADF GPF 分别与相交于连接 由（）CD平面 PAE 知，平面 PAE.于是BPF为直线与平面 PAE 所成的角，且BGAE. 由PAABCD 平面知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角. 4,2,ABAGBGAF由题意，知,PBABPF 因为sin,sin, PABF PBABPF PBPB 所以.PABF 由90/ /,/ /,DABABCADBCBGCD 知，又 所以
14、四边形BCDG是平行四边形，故 3.GDBC于是2.AG 在RtBAG中，4,2,ABAGBGAF所以 2 22 168 5 2 5,. 52 5 AB BGABAGBF BG 于是 8 5 . 5 PABF 又梯形ABCD的面积为 1 (53) 416, 2 S 所以四棱锥PABCD的体积为 118 5128 5 16. 33515 VSPA 解法 2：如图（2） ，以 A 为坐标原点，,AB AD AP所在直线分别为xyz轴，轴，轴建立空间直角坐 标系.设,PAh则相关的各点坐标为： (4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0, ).ABCDEPh （）易知( 4,2,0),(2,4,0),(0,0, ).CDAEAPh 因为 8800,0,CD AECD AP 所以,.CDAE CDAP而,AP AE是平面PAE内的两条相 交直线，所以.CDPAE 平面 ()由题设和（）知，,CD AP 分别是PAE平面，ABCD平面的法向量，而 PB 与 PAE平面所成的角和 PB 与ABCD平面所成的角相等，所以 cos,cos,. CD PBPA PB CD PBPA PB CDPBPAPB
