2018届高三下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

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1、20182018 年重庆一中高年重庆一中高 20182018 级高三下期第一次月考级高三下期第一次月考 数数 学学 试试 题题 卷（理科）卷（理科） 一、选择题一、选择题. .（共（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.集合，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意，集合，表示实数集，集合表示二次函数图象上 的点作为元素构成的点集，所以，故选 C. 2.二项式的展开式的各项系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意，对于二项式中， 令，则， 即二项式的展开式的各项系数的和为，故选 A. 3

2、.复数的模是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由复数的四则运算，可知， 所以的模为，故选 B. 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 执行如图所示的程序框图，可知： 第一次循环：，满足，； 第二次循环：，满足，； 第三次循环：，满足，； 第四次循环：，满足，； 第五次循环：，步满足，输出，故选 D. 5.已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面，条件 “该棱柱是正四棱柱” ，条件 “该棱柱底面是菱形” ，那么 是 的（ ）条件 A. 既不充分也不必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 充要 【答案】B 【解析】 由一个

3、四棱柱的侧棱垂直于底面，若条件 “该棱柱是正四棱柱”成立，则四棱柱的底面为一个正方形， 所以命题 “该棱柱底面是菱形”是成立的； 由一个四棱柱的侧棱垂直于底面，若命题 “该棱柱底面是菱形”是成立，则该四棱柱不一定是正四棱柱， 所以条件 “该棱柱是正四棱柱”不一定成立， 所以命题 是命题 的充分不必要条件，故选 B. 6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨)的几组 对应数据： 根据上表提供的数据，若求出 关于 的线性回归方程为，那么表中 的值为（ ） A BCD 【答案】A 【解析】 由题意， 因为 关于 的回归直线方程是， 所以，解得，故

4、选 A. 7.平面上三个单位向量两两夹角都是，则与夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得，向量为单位向量，且两两夹角为， 则， 且， 所以与的夹角为，且， 所以与的夹角为 ，故选 D. 8.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国 家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一 名运动员完成， 每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单，其中女运动员甲 只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可 以上

5、，那么中国队共有（ ）种兵布阵的方式. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计 种方法； 若甲运动员承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有种安排方法，共计 种方法， 所以中国队共有种不同的安排方法，故选 A. 9.已知直线 ，圆，那么圆 上到 的距离为的点一共有（ ）个. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由圆，可得圆心，半径， 又圆心到直线的距离， 如图所示，由图象可知，点到直线的距离都为， 所以圆 上到 的距离为的点一共 个，故选 C. 10.已知则的大小关系是（ ） A. B.

6、 C. D. 【答案】B 【解析】 由题意，令，则， 当时， 所以， 所以函数在区间上点掉递减， 所以，即，即， 又由三角函数的性质可知，所以，即， 综上可得，故选 B. 11.双曲线，曲线经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由曲线，可得令，得， 即，则， 所以双曲线的离心率为，故选 C. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见 有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次 式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)

7、12.不等式对于任意正实数 恒成立，则实数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意，设， 则 ， 因为， 所以在单调递增，且最小值为， 要使得对恒成立， 当且仅当，即时成立，所示实数 的最大值为 ，故选 B. 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力 与计算能力，解答中涉及到基本不等式的应用，利用基本不等式确定函数的最值及等号成的条件是解答的 关键，实数有一定的难度，属于中档试题. 二、填空题二、填空题. .（共（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知随机变量

8、，且随机变量，则 的方差 _ 【答案】12 【解析】 由随机变量，则随机变量的方差为， 又因为，所以随机变量 的方差为. 14.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为_ 【答案】 【解析】 根据给定的三视图可知，原几何体表示一个如图所示的三棱锥， 其中底面是一个底边为 ，高为 的等腰直角三角形，则， 且底面，且， 所以三棱锥的各个面的面积为：，, ， 所以该三棱锥的表面积为. 15.在的可行域内任取一点，则满足的概率是_ 【答案】 【解析】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 由，解得，即，且， 所以， 作出直线，则所以表示区域为， 即不等式所表示的区域

9、为，其面积为, 所以不等式对应的概率为. 点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时 间） ，其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量，最后计算概率，本题的解答中正 确画出二元一次不等式所对应平面区域是解答的关键. 16.点 是锐角三角形的外心，则的值为_ 【答案】20 【解析】 如图所示，过点 分别作于于 ，则分别是的中点， 可得在中， 所以，同理可得， 所以. 点睛：本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题，其中解答中将放在它的外接圆 中，过点 分别作，得到分别是的中点，利用数量积的运算，分别求得 的值是解答的关键，

10、着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质， 有一定的综合性，属于中档试题. 三、解答题三、解答题. .（共（共 7070 分）分） 17.已知等比数列 的首项为 ，公比，且 是的等差中项，是数列的前 项和. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前 项和. 【答案】 （1） ;（2） . 【解析】 试题分析：（1）设，根据条件列出方程，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1） ，求得，即可利用分组求和求得数列的前 项和. 试题解析： （1）设，根据条件有 ， 又 （2）由（1） ，所以 由分组求和， 18.如图，在直棱柱中， . (1)证明：直线平面； (2

11、)求平面与平面所成的锐二面角的余弦. 【答案】(1)见解析； (2) 【解析】 试题分析：(1)证明：根据条件得，又利用线面垂直的判定定理，即可证得结论； (2)由题意，以 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设，求 得平面与平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值. 试题解析： (1)证明：根据条件可得， 又而，所以，直线平面 (2) 两两垂直如图所示，以 为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直 角坐标系设， 又所以， 根据条件平面，所以可视为平面的一个法向量，现设是平面 的一个法向量，则，令，所以，设平面与平面 所成的锐二面角为 19.北方某市一次全市高中女生

12、身高统计调查数据显示：全市名高中女生的身高（单位：）服从正 态分布现从某高中女生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部在和 之间，现将测量结果按如下方式分成 组：第 组，第 组，第 组，下图 是按上述分组方法得到的频率分布直方图 (1)求这名女生身高不低于的人数； (2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取 人，将该 人中身高排名(从高到低)在全市前名的人 数记为 ，求 的数学期望 参考数据：， ， 【答案】(1)人； (2) 见解析. 【解析】 试题分析：(1)由直方图知，求得后 组频率，进而可求得这名女生身高不低于的人数； (2)由题意，求得这人中以上的有 人，得出随机变量 可取，求

13、得随机变量取每个值得概率， 列出分布列，利用公式求解数学期望. 试题解析： (1)由直方图知，后 组频率为，人数为，即这名女生身高不低于 的人数为人； (2)， . ，则全市高中女生的身高在以上的有人，这人中以上的有 人 随机变量 可取，于是， 20.已知标准方程下的椭圆 的焦点在 轴上，且经过点，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重 合椭圆 的上顶点为 ，过点的直线交椭圆于两点，连接、，记直线的斜率分别为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)求的值. 【答案】(1) ；(2) 见解析;（3） . 【解析】 试题分析：(1)由抛物线的焦点为，得到椭圆的两个焦点坐标为 ，再根据椭圆的定义得到 ，即

14、可求得椭圆 的标准方程； (2)由题意，设直线的方程为，并代入椭圆方程，求得，化简运算，即可求得的值. 试题解析： (1)设椭圆 的标准方程为，抛物线的焦点为，所以该椭圆的两个焦点坐标为 ，根据椭圆的定义有 ，所以椭圆 的标准方程为 ； (2)由条件知，直线的斜率存在设直线的方程为，并代入椭圆方程，得 ，且，设点，由根与系数的韦达定理得， 则，即为定值 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，确定椭圆（圆 锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数 的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解

15、，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不 足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数 （1）求函数的极值； （2）求证：； （3），若对于任意的，恒有成立，求 的取值范 围 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】 试题分析：（1）由题意，得，得出函数的单调性，即可求得函数的极值； （2）由（1）知的极小值即为最小值，推得，进而可证得结论； （3）由题意的解析式，求得，令，求得，利用得存在 ，使，且在上递减，在上递增，求得函数的的最小值，再转化 为函数，利用导数的单调性，即可求解实数 的取值范围. 试题解析： （1）由可得，

16、函数在单减，在单增，所以函数的极值在取得，为极小 值； （2）根据（1）知的极小值即为最小值，即可推得当且仅当取等，所以 ， 所以有 （3） 令，则，在上递增 ，当时， 存在，使，且在上递减，在 上递增 ，即 对于任意的，恒有成立 ，又， ，令，显然在单 增，而， . 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、 逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要 从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性或求参数值（取值范围） ；(2 利用导数 求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(3)考查数形结合思