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1、绵绵阳地区重点中学小升初阳地区重点中学小升初难难度度题题解析解析 王雪宇学案 课题一课题一 行行 程程 问问 题题 一般行程问题 相遇相遇问题问题（重点）（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和 行程行程问题问题几大几大题题型型 追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差 “火车过桥问题” “流水行船问题” “钟表问题” 行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下： 速度时间=路程 ；路 程时间=速度 ； 路程速度=时间。注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程总时间，而不是两个（或 几个）速度相加再除以 2。 行程问题涉
2、及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及多个物 体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、 “同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背 运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向 运动”、 “同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是 相同的，都可以归纳为：速度时间=路程（路程时间=速度，路程速度=时间）。 在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复杂” 的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对
3、各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题 的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源，从而做到 “以不变应万变”！ 解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速 地找到解题思路。 相向而行的公式：相遇时间=距离速度和。相背而行的公式：相背距离=速度和时间。追及问题的公 式：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离速度差。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追 及距离=速度差时间（例如求环形跑道的长度）。 追及距离时间=速度差，追及距离速度差=时间。 “火车 过桥问题”、 “流水
4、行船问题”、用行程问题结合图形知识解答的“钟表问题”是几类较特殊的行程问题，在解 题时更要注意具具体体问问题题具具体体分分析析。 要正确的解答有关“行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向（相向，相背， 同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结 果（相遇、相距多少、交错而过、追及）。 两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时， 此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，此时两个物体 的追及的速度就变为了“两个物体运动速度的差
5、”（简称速度差）。 当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑；船在河中顺水而下和 逆水而上。此时人在顺风跑时运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运 动的速度就应该等于人本身的速度减去风的速度；我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现， 顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度；同样比较“顺水而下”与“逆流而上”，两个速度之间也相差 着两个“水流的速度”。所谓“逆水行舟，不进则退”就是这个道理。 1、相遇问题和相离问题：、相遇问题和相离问题： （1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向相向而行” ，注意关键词“相向” ，如果两物体同时出
6、发，相遇时所相遇时所 用时间一定相同，注意对速度和的理解用时间一定相同，注意对速度和的理解 绵绵阳地区重点中学小升初阳地区重点中学小升初难难度度题题解析解析 王雪宇学案 图示图示: 甲 乙 甲从 A 地出发 乙从 B 地出发 关系式：关系式： 相遇时间=总路程速度和 总路程=速度和相遇时间 典型例典型例题题： ： 两港相距 168 千米，一艘客轮和一艘货轮同时从两港相对开出，客轮每小时行 24 千米，货轮每小时行 18 千 米，几小时后两艘轮船相距 21 千米？ 甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 52 千米，两车在离中点 16 千米处 相遇。东西两地相距多
7、少千米？ A、B 两地相距 470 千米，甲车以每小时 46 千米，乙车以每小时 40 千米的速度先后从两地出发，相向而行。相 遇时甲车行驶了 230 千米。问：乙车比甲车早出发几小时？ 甲、乙两车的速度比是 3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点 6 千米处相遇，求两地相距多少千米？ 解法（一）：由题意可知，甲乙两车同时开出后，路程比成正比例，总是等于速度比，设两地间路程的一半为 X，则 =，解比例得 X=42，422=84 千米即为两地间的距离。 6 6 x x 4 3 6 千米 解法（二）： 甲 乙 中点中点 从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差 6 千米到达中点，乙已经过了中点 6
8、千米，甲和乙的路程差是 6 千米的 两倍，如果将两地间距离成看成 3+4=7“份”的话，相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份”。则有 62=84 43 34 千米。 多人相遇多人相遇问题问题： ： （解决此（解决此类问题类问题同同时时要理解要理解领领先先问题问题） ）甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68 米、70.5 米、72 米。现甲、乙从东镇去 西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，丙又过了 2 分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。 （解决此（解决此类问题类问题同同时时要理解要理解与与“封封闭闭路程路程”有关的行程有关的行程问题问题） ）甲乙丙三人沿着湖边散步，同时从湖边的一个
9、地点 出发。甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走。甲第一次遇到乙后 1分钟遇到丙，再过 3分钟第二次 4 1 4 3 遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周长是 600 米，求丙的速度。 3 2 多次相遇多次相遇问题问题： ： 甲乙两辆汽车同时从 A、B 两地相对开出，甲每小时行 75 千米，乙每小时行 65 千米。甲、乙两车第一次相遇 后继续前进，分别到达 B、A 两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了 6 小时，A、B 两地相距多 少千米？ 一个游泳池长 90 米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。照这样往、返游，两人 游 10 分钟，甲每秒游 3 米，
10、乙每秒游 2 米，二人会相遇几次？ （2）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背相背而行” ， 注意对注意对“速度和速度和”的理解，的理解，注意时间的因素 图示：图示： 甲 出发点 乙 A B 关系式：关系式： 绵绵阳地区重点中学小升初阳地区重点中学小升初难难度度题题解析解析 王雪宇学案 相离距离=速度和相背而行的时间 典型例典型例题题，相遇和相离的，相遇和相离的综综合合问题举问题举例：例：A、B 两地相距 420 千米，甲车从 A 地出发开往 B 地，每小时行驶 72 千 米，甲车行驶 25 分钟后，乙车从 B 地开往 A 地，每小时行驶 28 千米。两车相距 100 千米时，甲车共行驶多长
11、时 间？（分析各种情况） 2、追及问题和领先问题、追及问题和领先问题 （1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之” 图示：图示： 慢者先走出一段距离 就是需要追及的距离 在快者追时慢者继续往前走 快者此时此地追起 追到 出发点 注意：追上时一共走出的路程不叫追及距离 关系式：关系式： 追及时间=需要追及的距离速度差；追及距离=速度差追及时间 速度差=追及距离所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解决问题。 速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或者快者开始出发时距慢者的距离。 典型例典型例
12、题题： ： 晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走 60 米，所以他先从家出发。5 分钟后，爸爸 以每分钟 80 米的速度去追小明，经过多少分钟可以追上？ A、B 两地相距 1800 米，若甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发，9 分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲 30 分钟可以追到乙，问：甲从 A 地到 B 地需要多少小时？ 甲乙丙三辆车先后从 A 地开往 B 地。乙比丙晚出发 5 分钟，出发后 45 分钟追上丙；甲比乙晚出发 15 分钟，出 发后 1 小时追上丙。甲出发后几小时追上乙？ 解法：设数法解题。 上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发。8 分钟后，爸爸
13、骑摩托车去追他。在离家 4 千米的地方追上了小明， 然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？ 解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同时间小明走的路线。 从线段图中我们可以看出爸爸走了 3 个 4 千米的时间，小明只走了 1 个 4 千米，小明所行路程是爸爸所行路程 的，相同时间内，路程与速度成正比， 则小明的速度是爸爸速度的。 3 1 3 1 4 千米 4 千米 爸爸 小明 家 第一次追上时离家 4 千米 第二次追上时离家 8 千米 我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度
14、的，从爸爸第一次开始追小明到 3 1 追上小明的这段时间内，爸爸行出 4 千米，小明行出 4 千米的（同样是根据相同时间内，路程与速度成正 3 1 比），小明必须先行出 4 千米的=，也就是说，小明用 8 分钟的时间先行出 4=千米。 3 13 3 2 3 2 3 8 小明先用 8 分钟时间 绵绵阳地区重点中学小升初阳地区重点中学小升初难难度度题题解析解析 王雪宇学案 走出 4 千米的 小 明 3 2 爸 爸 进而我们求出小明的速度是8=千米/分钟，小明 8 点 8 分从家里出发，到爸爸二次追上小明时，小 3 8 3 1 明共行 8 千米，8=24 分钟，从而求得第二次追上的时间是8 点 32
15、 分。 3 1 解题过程： 4（4+8）= 4（1-）= （千米） 8=（千米/分钟） 3 1 3 1 3 8 3 8 3 1 8 =24（分钟） 8+24=32（分） 答：这时是 8 点 32 分。 3 1 （2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，则快者必领先于慢者” 图示：图示： 慢 者 快 者 快者领先的距离 两者在同一出发点同时出发 关系式：关系式： 领先距离=速度差所用时间，速度差=领先距离所用时间，所用时间=领先距离速度差 典型例题： 甲乙两人练跑步，甲跑步的速度每分钟比乙快千米，两人从某地同时出发，跑了一段时间后，甲领 50 3 先乙 200 米，问此时甲跑了多
