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1、1数学探究性教学的基本类型及其教学实践吴国建(浙江省东阳中学 322100)内容摘要 探究性教学是当前中学教育教学改革中的热门话题。数学作为一门科学，区别于以实验为基 础的物理化学等学科，数学的探究性教学应当更为重视数学知识的形成过程、数学规律的发现过程以及数学知识与规律的应用过程。本文在教学实践的基础上提出了数学探究性教学的四种基本类型。关键词 数学 探究性教学 基本类型 教学实践科学的本质是探索未知，科学的发现来自于探究过程。数学教学作为科学发现在教学上的一种特殊形式正越来越多地被提倡运用探究性教学。所谓探究性教学是指教师在课堂中巧妙地组织教学，引导学生自主地参与教学、获取知识，促使学生加
2、深对知识的体验，帮助学生逐步形成研究科学的积极态度，掌握研究科学的基本方法，提高研究科学所必须的探究能力。Westbook. S. L. &Rogers. L. N. (1994)等人通过对探究学习的作用以及如何进行探究性教学等进行深入的研究，发现进行探究性教学不仅可以提高学生的认知水平，而且有助于学生理解和掌握科学的方法，培养科学的态度。数学，从本质上讲，是整个现代科学的一种文化的精神或理性的基础构成成分。虽然被称之为科学，但其含义与一般理解的探索客观世界物质运动机理的科学（如物理化学等)是迥然不同的，数学科学从本质而言，不能理解为与众多科学中并列的一门学科。因此，数学探究性教学也应当区别于
3、物理化学等的实验探究为主而更为重视数学知识的形成过程、规律及其应用的探究。本文拟结合笔者的教学实践从教学内容的组织与选择阐述数学探究性教学的几种基本类型。类型一：对知识形成过程的探究建构主义教学理论指出，数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个2主动的建构过程。数学知识不能从一个人迁移到另外一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流通过反省来主动建构。这就是说教师所教的数学，必须经过学生的主体感知、消化、改造，使之适合他们自己的数学结构，才能被理解掌握。这就意味着，作为数学探究性教学必须在课堂中充分暴露教师的思维过程，充分展现知识的形成过程，让学生在两种过程的认同与体验中建构知识
4、。例 1：点到直线的距离公式探究。解析几何教材 40 页“点到直线的距离” 一节内容是该章的一个重点，也是难点之一。教材开门见山地提出了已知点 P(x0, y0)和直线 l：Ax + By + C = 0 怎样求点 P 到直线 l 的距离的问题，然后进行分析和求证。虽然所要传授的知识与方法直接了当，一目了然，但是这样的编排并不符合学生建构知识的心理顺序。在课堂教学中，我们可以通过如下处理，将教材内容重组成探究问题系列：问题 1. 已知 l1 / l2 且 l1：y = kx + b1，l 2：y = kx + b 2，求 l1l2的距离 d.(利用图形，求得 l1 l2yxNdQRyxNdQR
5、l1l2d = | RQ | | cos | = d = | RQ | | cos | =d = | RQ | | cos() | | b1 b2 |1 + k2= | b1 b2 |1 + k2问题 2：如何将两平行线之间的距离公式转化为点到直线的距离公式。(根据平行线之间的距离处处相等，在 l1 任取一点 P(x0, y0)，y 0 = kx0 + b1 b1 = y0 kx0 代入公式 得 d = )| y0 kx0 b2 |1 + k23问题 3：已知点 P(x0, y0) 直线 y = kx + b，求点 P 到 l 的距离。 ( d = ，将 b2 改为 b 即可)| y0 kx0
6、 b |1 + k2问题 4：已知点 P(x0, y0)，直线 l：Ax + By + C = 0，求点 P 到 l 的距离。(令 k = 、b = 代入公式整理即得AB CBd = 最后补充说明以上结论当 B=0 时公式同样成立)| Ax0 + Bx0 +C |A2 + B2类型二：对学生未知数学规律的探究规律的探索过程起到将知识之间建立联系，打通思维通道的作用。数学探究性教学选择组织的内容，虽然早已被科学家们所论证和应用，但是对学生而言，应当是新的内容，尤其是一些一般性数学规律的探究，可以使原来一些知识点串联成线状网状，从而优化学生当前已有的知识结构。在一般性规律的探究中，教师一定要启发学
7、生通过对比、归纳、分析等方法独立完成，探究的过程既进行了思维训练又进行了辩论唯物主义普遍联系观的教育，真正实现了数学作为文化的育人功能。例 2：对称问题的探究。对称问题是数学中最能体现其美育功能的内容之一，对称问题的研究不仅有助于提高学生分析问题解决问题的能力，而且有助于更好地培养学生形成健康的审美观，树立正确的世界观，这样的内容我们在平时教学中应予以足够重视。但是，教材中对称问题的叙述是极其零碎、离散的，这就要求我们在教学中引导学生在不同类型对称问题解决的经验之上，从教材点点滴滴的分布中探究归纳出一般性的对称规律，并能运用规律性的结论解决相关问题。具体而言，对称问题的教学可以通过探究以下一系
8、列问题而完成。问题 1 试结合图象求出点 P(x0, y0)关于原点、x 轴、 y 轴、直线 y=x、直线 y= x 的对称点的坐标。归纳：对称问题分为二类：一是关于点的对称，称为中心对称；二是关于直线的对称，称为轴对称。问题 2 求点 P(x0, y0)关于 A(a, b)的对称点 P(x, y)的坐标。4归纳：点关于点的对称问题可以通过中点坐标公式求得： (x = 2a x0y = 2b y0)问题 3 已知曲线 C：f(x, y) = 0，求曲线 C 关于点 A(a, b)的对称曲线 C的方程。分析：设 P(x0, y0)为曲线 C上任意一点，它关于点 A(a, b)的对称点为 P(x,
9、 y)则有 ，而 P(x0, y0)在曲线 C 上，故有 f(x0, y0) = 0 即 f(2ax, (x0 = 2a xy0 = 2b y)2by)= 0 即为 C的方程。特殊地，当 a=b=0 时 f(x, y) = 0 关于原点的对称曲线为 f(x, y) = 0。归纳：曲线关于点的对称问题可以转化为曲线上的任意一点关于点的对称问题来解决。解题流程图如下：曲 线 C 曲线 C P点在曲线 C 上 任取一点P(x0, y0) P(x, y) 问题 4 已知点 P(x0, y0)，直线 l：Ax + By + C = 0，求点 P 关于 l 的对称点 P(x, y)的坐标。分析：P、 P关
10、于直线 l 对称满足下列条件(1) 直线 PP与 l 垂直(2) P、 P的中点在 l 上即 P(x, y)坐标满足由此可解出 x，y(yy0xx0 ( AB) = 1A x+x02 + B y+y02 + C = 0)归纳：点与点关于直线的对称问题的求解可抓住“中、垂” 二字来列式求解：(1) 中( 中点) ，指中点坐标公式代入； (2) 垂(垂直)，指斜率之积为 1。问题 5 已知曲线 C：f(x, y) = 0，直线 Ax + By + C = 0，求曲线 C 关于 l的对称曲线 C的方程。分析：设 P(x, y)为 C上任意一点， P 关于直线 l 的对称点为 P(x0, y0)由上5
11、述(4)的方法解出 x0, y0，而 P(x0, y0)在曲线 C 上，故 f(x0, y0) = 0 即得到曲线 C的方程。归纳：曲线关于直线的对称问题和曲线关于点的对称问题类似，可以转化为曲线上任意一点关于直线的对称问题来解决，解题流程图如下：曲 线 C 曲线 C P点在曲线 C 上 任取一点P(x0, y0) P(x, y) 类型三：已知数学知识与规律的应用探究作为数学的首要功能之一，应用既是知识的温习和巩固过程，又是知识的创新过程和认识的飞跃过程，是思维中的最积极活跃的过程。因此，这一过程的探究应当作为数学探究性教学的重点。在教学中，一定要改变过去从教师那里学习如何应用的被动方式，变为
12、教师设计问题或学生在实践中归纳出主题，并从实践中提出自己的观点，总结出新方法的主要学习过程。教师典型引路，指出研究方向，学生通过查阅文献、讨论、思考和归纳，写出研究小论文并采用多种形式公开交流，互相借鉴。例 3：分比在数学解题中的应用探究点 P 分 所成的比 的有关内容的教学是在解析几何第一章完成的，解P1P2几教材中涉及到的有关的应用篇幅非常有限，但是分比的用途十分广泛，如何巧妙利用来解题是一个值得深入探究的问题。在高三的复习教学中，笔者曾要求任教班级学生去查阅有关文献，探究归纳在数学学科内的解题应用，允许学生相互合作，共同完成。结果，在全班学生的努力下，挖掘出了的许多巧妙应用。以下是利用来
13、解代数题的几个应用举例。应用一、求函数的值域例 求函数 y= 的值域.sinx+12sinx解：设1、sinx、2 分别是 P1、P、P 2 在数轴上的坐标，6则 y= = = sinx+12sinx P1PPP2因 1sinx 1 结合数轴可知当| P1P | 在 13 变化时 | PP2 |相应的在 31 变化。 ，3 即 y , 313 13应用二、解不等式例：解不等式 log0.5(x2 2x15) log0.5(x+13)解：原不等式等价于 0 x2 2x 15 x+13设 0、x 22x15、x+13 分别为 P1、P、P 2 在数轴上的坐标，= P1PPP2则 P 内分 ， 0
14、P1P2而= = = 0P1PPP2 x2 2x150x+13(x22x15) (x5)(x+3)(x7)(x+4)画根轴得，原不等式的解集为 x | 4 x 3 或 5 x 7 应用三、证明不等式例：关于 x 的二次方程 x2 + ax + b = 0 有两个实根 、，其中 a、bR，证明(1)如果| | 2、| | 2，求证：2| a | 4 + b 且 | b | 4(2)如果 2 | a | 4 + b、| b | 4，求证：| | 2，| | 2证明：由韦达定理+ = a， =b设数4 b、2a、4+b 分别是 P1、P、P 2 在数轴上的坐标(1)要证 2| a | 4 + b 只
15、需证 4a 2a 4 + b 即只需证 P 是 P1P2 的内分点，而 = = = P1PPP2 2a+4+b4+b2a 2(+)+4+4+2(+)= 0 ( | | 2，| | 2 )(2)(2)(2+)(2+)1sinx2xP1 PP20x2x15x+13xP1 PP27显然 | b | = | | | | 4(2)当|2a| 4+b 时 即 4b 2a 4+b 知 P 是 P1、P 2 的内分点 则 = 0 仿(1)可知 0P1PPP2 (2)(2)(2+)(2+)即(2)(2)(2+ )(2+)0 (4 2)(42)0因此有 24， 24 (若 2 4， 2 4 则与| |=| b | 4 矛盾)即| | 2，| | 2)类型四：跨学科的综合应用探究华罗庚先生曾经说过：宇宙之
