思路拓展--高考解析几何万能解题套路

《思路拓展--高考解析几何万能解题套路》由会员分享，可在线阅读，更多相关《思路拓展--高考解析几何万能解题套路（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、高考解析几何高考解析几何万能解题套路万能解题套路 一个套路，解决所有高考解析几何问题！一个套路，解决所有高考解析几何问题！ （版权所有 翻印必究） 乐贝思乐贝思 教育教育 版权所有：乐贝思教育机构版权所有：乐贝思教育机构版权所有人：罗荷玉版权所有人：罗荷玉 联系电话：联系电话：13524170045135241700451352417004513524170045、13541300108135413001081354130010813541300108QQQQQQQQ：16626316166263161662631616626316 1 1 1 1 第一部分：高考解析几何第一部分：高考解析几何

2、万能解题套路万能解题套路 一、导论一、导论 在教学中，一直有一个难以解决的悖论： “题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战 术”又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是通过平 时的“题海战术” ，也许可以穷尽问题的各种可能。 然而，如果我们仔细研究一下西方科学思想，他们的目标也是穷尽问题的各种可能，但他们采用的是 欧几里德在几何原本中创立的公理化演绎方法！在其划时代的伟大著作几何原本中，欧几里德仅 用了 5 条公理和 5 条推理规则（或者说演绎规则） ，就将以往大量的、零碎的、彼此之间也看不出多少联系 性的几乎所有几何问题的解都统一了起来！

3、大量看似没有多少联系性的问题，却能通过高度一致的方法获得解决！欧几里德的发现深深地影响了 后世无数科学家，并让几乎所有学科走上了为所有可能的问题寻找高度一致解决方法的道路！ 事实上，欧几里德的发现影响如此巨大，使得公理化演绎方法成为几乎所有学科的通用方法。为了让 学生能真正从题海战术中走出来， 我们以解析几何为例， 开发出一套与高考解析几何演绎体系相对应的 “万 能解题套路” ，希望对大家有所启发。 二、解析几何万能解题套路二、解析几何万能解题套路 解析几何是法国数学家笛卡儿（1596 年1650 年）创立的。在笛卡儿之前，几何（即欧几里德几何） 与代数是数学中两个不同的研究领域，但这两门学科

4、都有着自己的局限性，比如欧几里德几何，虽然它构 建起了严密的演绎体系，但基本只局限于对直线和圆所组成的图形的处理，当面对椭圆、抛物线、双曲线 等新奇图形时，欧几里德几何就开始变得力不从心了。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了 一个划时代的设想把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指 引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。 正如前面所说，演绎体系最大的特点是：大量看似没有多少联系性的问题，在演绎体系下却能通过高 度一致的方法获得解决！而要找到这个高度一致的方法，只须理清两个问题：一、这个演绎体系下的问题 是由什么构成的；二、这个演绎体系的演绎规则是如何构

5、建的。 以高考解析几何为例： 1、问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构 成的图形的问题； 2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。当然，能用代数规则处理的问 题必须是代数形式的，比如，平面上的点、直线、曲线构成的图形能用代数方法来处理，前提是构成这些 图形的点、直线、曲线必须是代数形式的。 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两 项工作： 1、几何问题代数化。 2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。 至此，我们可以发掘出一套规整的高考解析几何的统一解题套路： 步骤步骤

6、1 1 1 1：把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化：把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化） ； 步骤步骤 2 2 2 2：把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代：把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代） ； 说明：这里的“从属关系”指的是什么？实际上，在解析几何中， “点”是比直线、曲线更基础的几何 元素任何几何图形，包括直线和曲线，都被视为是由一个个的“点”构成的（用数学语言来表达：任 何几何图形，包括直线和曲线，都是由点构成的集合） 。但为了使我们的解题套路各步骤之间条例更分明， 乐贝

7、思乐贝思 教育教育 版权所有：乐贝思教育机构版权所有：乐贝思教育机构版权所有人：罗荷玉版权所有人：罗荷玉 联系电话：联系电话：13524170045135241700451352417004513524170045、13541300108135413001081354130010813541300108QQQQQQQQ：16626316166263161662631616626316 2 2 2 2 我们把点、直线、曲线视为构成任何其它几何图形的基础。所以，这里的“从属关系”是点与直线、曲线 的属于关系问题如果某个点在某条直线或曲线上， 那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。 步骤步骤

8、 3 3 3 3：图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化（三化：图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化（三化） 。 说明：在解析几何中，会有一些关于图形构成特点的条件，如图形中某两条直线垂直；图形中某条直 线和某条曲线相切等等，我们把这些条件都归结在步骤 3 中来处理； 步骤步骤 4 4 4 4：按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式（四处理：按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式（四处理） 。 说明：步骤 1、2、3 完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。 下面，我们把这四个步骤进行标准化。 三、高考解析几何解题套路各步骤操作规则三、高考解

9、析几何解题套路各步骤操作规则 步骤一步骤一： （一化）（一化） 口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、见点化点： “点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化； 2、见直线化直线： “直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化； 3、见曲线化曲线： “曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线） ”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的 曲线都要加以方程化； 备注：备注：大家在学习本教材的例题时，可翻阅教科书回顾这些内容，以加深印象，如直线有五种表示方 法哪种情形对应哪种方法表示；圆、椭圆、抛物线、双曲线的方程怎么列。 步骤二：点与直线、曲线从属关系的

10、代数化（二代）步骤二：点与直线、曲线从属关系的代数化（二代） 口诀：点代入直线、点代入曲线。 1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程； 2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程； 备注备注 1 1 1 1：这样，每代入一次就会得到一个新的方程，这些方程都是获得最后答案的基础。 备注备注 2 2 2 2：方程逐一列出后，最后就是解方程组的问题了。在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况， 即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后不能直接算出常数结果，则采用下 面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解

11、更简单： 等效规则的口诀：点代入这两个点共同所在的直线、直线代入曲线。 1、点代入这两个点共同所在的直线：把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如dkxy+=）表示 出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程； 2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程； 3、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示 （这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相 互关系式） ； 4、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来； 5、把这个一元二次方程的判别式0列出来。 备注：备注：事实上，这是前面一套规则在特定情况下的等效规则，如果用前面一套操作规则，我们会发现 在其后续方程组的处

12、理过程中会出现韦达定理的推导过程，而后面的等效规则直接用了韦达定理的结论， 省略了韦达定理的推导过程，当然，它的好处也仅此而已。为了让大家看得更明白，我们举例说明一下： 例例：已知直线l：dkxy+=与椭圆)0( 1 2 2 2 2 =+ba b y a x 交于),( 11 yxA、),( 22 yxB)( 21 xx 两点。 按前面一套代入规则列方程，并处理按前面一套代入规则列方程，并处理 点A、B在直线l上 乐贝思乐贝思 教育教育 版权所有：乐贝思教育机构版权所有：乐贝思教育机构版权所有人：罗荷玉版权所有人：罗荷玉 联系电话：联系电话：13524170045135241700451352

13、417004513524170045、13541300108135413001081354130010813541300108QQQQQQQQ：16626316166263161662631616626316 3 3 3 3 dkxy+= 11 dkxy+= 22 点A、B在椭圆上 1 2 2 1 2 2 1 =+ b y a x 1 2 2 2 2 2 2 =+ b y a x 将代入消去 1 y，整理得 0)(2)( 222 1 22 1 222 =+bdaxkdaxkab 将代入消去 2 y，整理得 0)(2)( 222 2 22 2 222 =+bdaxkdaxkab 将，整理得 0)

14、(2)( 21 2 21 222 =+xxkdaxxkab 0 2121 xxxx 02)( 2 21 222 =+kdaxxkab 222 2 21 2 kab kda xx + =+ 将+，配方得 0)(2)(22)( 222 21 2 21 2 21 222 =+bdaxxkdaxxxxkab 代入 222 2 21 2 kab kda xx + =+，得 222 222 21 )( kab bda xx + = 按后面的规则列方程，直接用韦达定理得到结果按后面的规则列方程，直接用韦达定理得到结果 点A、B在直线l上 dkxy+= 11 dkxy+= 22 将直线l的方程代入椭圆方程，整

15、理得 乐贝思乐贝思 教育教育 版权所有：乐贝思教育机构版权所有：乐贝思教育机构版权所有人：罗荷玉版权所有人：罗荷玉 联系电话：联系电话：13524170045135241700451352417004513524170045、13541300108135413001081354130010813541300108QQQQQQQQ：16626316166263161662631616626316 4 4 4 4 0)(2)( 22222222 =+bdaxkdaxkab 由韦达定理得 222 2 21 2 kab kda xx + =+， 222 222 21 )( kab bda xx + =

16、+ 说明：说明：这里给我们展示了科学推理的一个特点，就是通用规则在特定问题中使用后，一般都会得到一 些比较固定的结果，科学家把通用规则在这些特定问题中获得的固定结果定义为“定理” ，这样，在接下来 的计算中直接使用“定理”就可以省略一些中间过程韦达定理就是这样的例子。事实上，在处理问题 时，我们可以只用通用规则，从源头上解题，也可以直接用这些“定理” ，让解题过程相对简便一些。当然， 一个通用规则对不同的特定问题进行操作后，都会得到不同的定理，这样，一个通用规则可以针对不同的 问题演绎出成千上万条定理，要记住这么多定理是极难的，而且随着记忆的定理数量的增长，人脑会发生 混淆，大家会出现大脑短路的现象，成绩也开始进入长期止步不前的可怕状态，即出现所谓的学习的“高 原现象” 。