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1、扬州大学2009级高等数学I(2)统考试题(A)卷班级 学号 姓名 得分 题号选择题填空题13141516171920212223扣分扣分一、单项选择题(每小题3分,共18分) 1设函数在处不连续,则【】 (A)在处必不可微 (B)必不存在(C)必不存在 (D)与必不存在 2设函数在点处具有偏导数,且,则【】() () 曲面在点的法向量为() 曲线在点的切向量为() 曲线在点的切向量为3设L是上从到的一段弧,则【 】 () () () () 4设函数连续,且,其中是由所围成的闭区域,则【】 (A) (B) (C) (D) 5下列级数中,发散的是【】() () () () 6若幂级数的收敛半径为
2、,则的收敛半径为【】() () () () 扣分二、填空题(每小题3分,共18分) 7 8设,则 9平面被三坐标面割下的面积为 10设,则 在点处沿梯度方向的方向导数为 11函数在点 处取得极大值12设的收敛域为,则的收敛区间为 三、计算与应用题(每小题6分,共54分)扣分13设,其中具有二阶偏导数,求,14求曲面的一张切平面,使其在三坐标轴上的截距之积最大扣分扣分15计算,其中是由直线,及所围成的闭区域扣分16计算曲线积分,其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界17. 求半球面与旋转抛物面所围立体的体积扣分扣分18计算曲面积分,其中为球面被平面截出的顶部扣分19. 计算曲面积
3、分,其中是锥面位于平面下方部分的下侧20求幂级数的收敛域及和函数,并求扣分21将函数展开成的幂级数,并指出展开式的成立范围扣分四、探究与证明题(每小题5分,共10分)扣分22设,为连续函数, 试利用二重积分的极坐标证明:扣分23(1)判别级数的敛散性 (需说明理由,若认为收敛, 还要判明是绝对收敛还是条件收敛);(2)若当时,与为等价无穷小,试问交错级数是否一定收敛?若收敛证明之,若不一定收敛,举一发散的例子扬州大学2009级高等数学I(2)统考试题(A)卷参 考 答 案 一、单项选择题(每小题3分,共18分)1A 2C 3 D 4A 5B 6D 二、填空题(每小题3分,共18分) 7 8 9
4、10, 11 12 三、计算与应用题(每小题6分,共54分)13 (2分) (4分) (6分)14设切点坐标为,在此点处的切平面方程为, 即 (2分) 此切平面在三坐标轴上的截距之积为 本题转化为求函数在条件下的最大值. 令 由得(5分) 因此所求切平面为 (6分)15原式(2分) 其中(4分) (6分)16(1分) 其中 , 且 (5分)故 (6分)17所围立体在面上的投影区域 (1分) (4分)(6分)18原式 (3分)(6分)19设为平面的上侧,为和所围成的空间闭区域,则 (3分)又 故原式(6分)20 = 当 即时,幂级数绝对收敛;当 即时,幂级数发散;所以收敛半径,收敛区间 当时,原级数为,收敛;当时,原级数为,收敛;故原级数的收敛域为 (3分) 设 , 则 , ,(5分) 在上式中,令得 故 (6分)21 (2分) (5分) 展开式的成立范围: (6分)四、探究与证明题(每小题5分,共10分)22 (3分) (5分)23(1)因 发散;而 为一交错级数,收敛;故原级数收敛,且为条件收敛(3分)(2)不一定收敛 (4分)发散的反例:取. (5分) 10