内蒙古呼和浩特市2018届高三第一次质量调研普查考试数学（理）试题（解析版）

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1、1 20182018 届呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试届呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 理科数学理科数学 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 集合 则集合 其元素个 数为 6， 故选 A 2.已知，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】

2、D 【解析】 ，则复数 的虚部为. 选 D 3.下列函数中，既有偶函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 A函数是奇函数，不满足条件 B函数的偶函数，当 时 是减函数，满足条件 C函数是偶函数，当 时， 是增函数，不满足条件 D函数的定义域为 ，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件 故选 B 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求掌握常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关 键 2 4.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 是第一或第二象限角， 是第二象限角， 故选 D 5.设直线与直线的交点为 ；分别为上任

3、意两点，点为的中点，若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据题意画出图形，如图所示； 直线 与直线 的交点为 ； 为 的中点， 若，则 即 解得 故选 A 6.下面程序框图的算术思路源于几何原本中的“辗转相除法” （如图） ，若输入，则输出 的 为（ ） 3 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 第 1 次执行循环体， ，不满足退出循环的条件； 第 2 次执行循环体， 不满足退出循环的条件； 第 3 次执行循环体， ，不满足退出循环的条件； 第 4 次执行循环体， ，满足退出循环的条件； 故输出的 值为 5 故选 D 7.某多面体的三视图如图所示，其中正

4、视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 ， 俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 4 由三视图可画出直观图，如图所示， 该立体图中两个相同的梯形的面，为该多面体的各个面中，面积最大的面， 故选 B 8.如图为某班名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全. 已知该班学生投篮成绩的中位数是 ，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（ ） A. 球以下（含 球）的人数B. 球以下（含 球）的人数 C. 球以下（含 球）的人数D. 球以下（含 球）的人数 【答案

5、】C 【解析】 因为共有 35 人，而中位数应该是第 18 个数，所以第 18 个数是 5，从图中看出第四个柱状图的范围在 6 以 上，所以投 4 个球的有 7 人可得：3 球以下（含 3 球）的人数为 10 人，4 球以下（含 4 球）的人数 10+7=17 人，6 球以下（含 6 球）的人数 35-1=34故只有 5 球以下（含 5 球）的人数无法确定 故选 C 9.函数的部分图象如图所示，将函数图象向右平移 个单位得到函数的图象， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5 【解析】 由函数的图象可得 再由五点法作图可得， ，函数 将的图象纵坐标不变，图象向右平移 个单位得到函数的

6、图象，可得函数 故选 B. 10.已知球 半径为，设是球面上四个点，其中，则棱锥的 体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据题意知，直角三角形的面积为 16其所在球的小圆的圆心在斜边 的中点上，若四面体的体积的最大值，由于底面积 不变，高最大时体积最大，所以，与面 垂直时体积最大.设球小圆的圆心为 ，如图设球心为 ，半径为 ，则在直角中， 即 则棱锥的体积最大值为为 故选 A 【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体 ABCD 的体积的最大值， 是解答的关键，考查等价转化思想思想 11.已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲

7、线的上下两支分别交于点 ， ，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 6 【解析】 根据双曲线的定义，可得 是等边三角形，即 即 即又 0 即 解得 由此可得双曲线 的渐近线方程为. 故选 D 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出 a，b 的关系是解决本题的关键 12.已知关于 的不等式存在唯一的整数解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 不等式即 设 则在上单调递减，在 上单调递增，的图像如图所示， ，由图可知，且不等式有唯一的整数解 2，设 则 故选 A。 第第卷（共卷（共 909

8、0 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13._ 【答案】 【解析】 7 即答案为 1. 14.展开式中，项的系数为_ 【答案】 【解析】 二项式展开式中，含项为 它的系数为 70 故答案为 70 15.在中，满足的实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 中，即 则； 由|得： 整理得： 解得 实数 的取值范围是. 故答案为. 16.某煤气站对外输送煤气时，用号 个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： （i）若开启 号，则必须同时开启 号并且关闭 号； （ii）若开启 号或 号，则关闭 号； （iii

9、）禁止同时关闭 号和 号， 现要开启 号，则同时开启的另外 个阀门是_ 【答案】 号和 号 【解析】 由题意得： 若开启 号，则必须同时开启 号并且关闭 号； 8 若开启 号或 号，则关闭 号； 禁止同时关闭 号和 号，故要开启 4 号阀门 现在要开启 2 号阀门，则同时开启的 2 个阀门是 3 和 4 故答案为 3 和 4 【点睛】本题考查简单的合情推理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意题设中隐含条件的合理运 用 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .）

10、 17.已知等差数列和递增的等比数列满足：且， （1）分别求数列和的通项公式； （2）设表示数列的前 项和，若对任意的恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】 试题分析：1）由题意，设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ， 由，解出 ，得到；代入方程组得得到； （2）由题意，由得 设，。则当； 当；由数列的单调可得，即可得到实数 的取值范围. 试题解析：（1）由题意，设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ， 由则，解得（舍去）或 所以； 代入方程组得 因此， 综上，. （2）由题意， 由得 9 设 当； 当； 由数列的单调可得， 所以. 18.为了了解校园噪音情况，

11、学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了天的监测，得到如下统计 表： 噪音值（单位：分贝） 频数 （1）根据该统计表，求这天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）. （2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过分贝， 视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题： （i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率. （ii）学校要举行为期 天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这 天校园出现的重度噪音污染天数记为 ， 求 的分布列和方差. 【答案】(1)61.8；(

12、2)(i);(ii)答案见解析. 【解析】 试题分析：根据该统计表，同一组的数据用该组组间的中点值作代表，可求这天校园噪音值的样本平均数； （2） （i）由题意， “出现重度噪音污染”的概率为， “出现轻度噪音污染”的概率为， 设事件 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染” ，利用独 立重复试验的概率可求求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染 的概率. （ii）由题意，服从二项分布，求 的分布列和方差. 10 试题解析：（1）由数据可知 （2）由题意， “出现重度噪音污染”的概率为， “出现轻度噪音污染”的概率为， 设

13、事件 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染” ，则 （3）由题意，则. 故分布列为 . 19.一个多面体如图，是边长为 的正方形，平面. （1）若，设与的交点为 ，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 试题分析：（1）证明：由题意可知：面，可证 在中，利用勾股定理的逆定理可证，从而证明面； （2）如图以 为原点，方向建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标， 从而 由（1）可知，是面的一个法向量，且，求出面的一个法向量，即可求出 ，进而求出二面角的正弦值. 试题解析：（1）证明：由题意可知：面 11 从而， ，

14、又 为中点 在中 又 面 （2）面且，如图以 为原点，方向建立空间直角坐标系 从而 由（1）可知，是面的一个法向量，且 设为面的一个法向量 由 可知 令得 设 为二面角的平面角， 则 从而. 20.已知椭圆 的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆的左右焦点分别为，过的直线 与椭圆 相交于两点，若的面积为，求以 12 为圆心且与直线 相切的圆的方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】 试题分析：（1）求出的焦点坐标为， ，设椭圆的方程为通过， 又点在椭圆上，列出方程组求解椭圆的方程 （2）设直线 的方程为，由得 由， 设，利用韦达定理

15、，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，求解，然后求解圆 的方程 试题解析：由题意，的焦点坐标为， 故设椭圆的方程为且， 又点在椭圆上，于是 （2）设直线 的方程为， 由得 由 设，其中就是上述方程的两个根， 所以 点到直线 的距离为 所以 解得 设欲求圆的半径为 13 所以，此圆方程为. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及 计算能力 21.已知二次函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，记为函数极大值点，求证：. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，

16、求出函数的单调区间即可； （2）由题 则，此时，讨论的单调性可得，在处取得极大值，则 一定有 个零点，分别是的极大值点和极小值点. 设是函数的一个极大值点，则 所以，由所以， 此时可证明. 试题解析：（1） 当时，在上恒正； 所以，在上单调递增 当时，由得， 所以当时，单调递减 当时，单调递增. 综上所述， 当时，在上单调递增； 当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 14 （2） 则 令的 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以，在处取得极大值， 一定有 个零点，分别是的极大值点和极小值点. 设是函数的一个极大值点，则 所以， 又 所以， 此时 所以. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.在直角坐标系中，直线（ 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴