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1、1 20192019 年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题）小题） 1.若集合，0，1，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用交集运算得答案 【详解】解：集合，0，1， ， 故选：C 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题 2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数 A. 3B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可. 【详解】因为, 且复数的实部与虚部互为相反数， 所以， 解得，
2、故选 D. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握 纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式 相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3.某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图 所示，已知甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成绩的中位数为 73，则的值为 2 A. 2B. C. 3D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值 【详解】解：根据茎叶
3、图中的数据，得； 甲班 5 名同学成绩的平均数为 ，解得； 又乙班 5 名同学的中位数为 73，则； 故选：D 【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题 4.从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且，设抛物线的焦点 为F，则直线PF的斜率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进 而利用斜率公式求得答案 【详解】解：设， 依题意可知抛物线准线， ， ， 直线PF的斜率为， 故选：C 3 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵
4、活利用了抛物线的定义 5.如图是一个算法流程图，若输入n的值是 13，输出S的值是 46，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出 条件. 详解：输入， 第一次循环； 第二次循环； 第三次循环； 第四次循环， 输出，此时应满足退出循环的条件， 故 的取值范围是，故选 B. 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结 构和直
5、到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6） 在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是 A. 0B. 1C. 5D. 6 【答案】D 4 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使 z 最大，则直线在 y 轴上 的截距最大，结合可行域可知当直线 zx+2y 过点 A 时 z 最大，求出 A 的坐标，代入 zx+2y 得答案 【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示； 由解得A（0，
6、3） ， 此时直线yxz在y轴上的截距最大， 所以目标函数zx+2y的最大值为 zmax0+236 故选：D 【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合的思想，解答的关键是正确作出可行域，是中档题 7.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯 视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为 A. B. 2C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体 5 的表面积 【详解】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱， 底面是一个直角三角形，
7、两条直角边分别是、斜边是 2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2， 几何体的表面积， 故选：D 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 8.等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前 10 项和为 A. 65B. 75C. 90D. 110 【答案】A 【解析】 【分析】 由的首项，前 项和为，求出 ，可得 ，再求数列前 10 项和 【详解】的首项，前 项和为， 解得 故数列的前项和为 故选 A. 【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基 础 9.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需
8、将 的图象 A. 向右平移 个单位B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位D. 向左平移 个单位 【答案】B 【解析】 6 试题分析：由图象知， ，得，所以，为了得到的图象，所以只 需将的图象向右平移 个长度单位即可，故选 D 考点：三角函数图象. 10.已知函数等于 A. 2B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 利用已知推导出，由此能求出结果 【详解】解：函数， 故选：A 【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11.设，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对数的运算法则即可得出 【详解】， 则 .
9、 故选 D. 【点睛】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题 12.若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 7 【解析】 【分析】 先对函数求导，得，当时，由，可得，从而极值 点问题转化为了与 y=-2m 的交点问题,结合图像即可得出 m 范围；当，由，可得 0,可得 m 的范围. 【详解】由题可知，当时，令，可化为，令 ，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示， 所以当，即时，有两个不同的解；当，令，解 得，综上，. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的极值点问题，分别研究分段函数在不同范围的单调性，结合图 像即可得出结
10、果. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题）小题） 13.已知ABC 和点 M 满足.若存在实数 m 使得成立，则 m_. 【答案】3 【解析】 试题分析：由条件知是的重心，设 是边的中点，则，而，所以 ，故选 B. 考点：平面向量. 14.若数列满足：，则_ 【答案】234 【解析】 【分析】 8 由，可得，可得故为等比数列，且，可得 ，可得答案. 【详解】解：， 故为等比数列.， 故. 【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前 n 的项的和，得出为等比数列，且是解题的关键. 15.已知直三棱柱外接球的表面积为，若外接圆的圆心在AC上，半径 ，则直三棱柱的体积为_ 【答案】3
11、 【解析】 【分析】 由题意可得，直三棱柱的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，代入体积公式 得答案 【详解】解：如图， 外接圆的圆心在AC上， 为AC的中点，且是以为直角的直角三角形， 由半径，得，又， 把直三棱柱补形为长方体，设， 则其外接球的半径 又直三棱柱外接球的表面积为， ，即 ，解得 9 直三棱柱的体积为 故答案为：3 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心 到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时 要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角
12、形，利用勾股定理求得球的半径 16.已知双曲线的左焦点为F，A，B分别是C的左、右顶点，P为C上一点，且 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若（O 为坐标原点） ，则双曲线C的离心率为_ 【答案】3 【解析】 【分析】 根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用的关系建立方程进行求解即 可 【详解】解：因为轴，所以设， 则， AE的斜率， 则AE的方程为，令，则， 即， BN的斜率为，则BN的方程为， 令，则，即， 10 因为，所以， 即，即，则离心率 故答案为：3 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N
13、，E的坐标是解决本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题）小题） 17.已知函数 求函数的单调递减区间； 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边AB上一点， 为锐角，且，求b的值 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 直接利用三角函数关系是的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区 间 利用的结论，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果 【详解】解：函数 ， ， 令， 解得：， 所以函数的单调递减区间为： 由于：， 即：， 解得： 当时，BDC 为锐角，则为钝角，不适合题意，舍去； 当时， 11 在中， ， 由于为锐角， 则：
14、， 所以：， 解得： 则： 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理和余弦 定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，E、F分别为和BC的中点 求证：平面平面； 求证：平面ABE 【答案】(1)见证明；(2)见证明 【解析】 【分析】 通过证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面； 取AC的中点G，连结G、FG，通过证明平面平面EAB，利用平面与平面平行的性质定理证明 平面ABE 【详解】证明：平面ABC，平面ABC， 12 又， 平面 而平面ABE， 平面平面 取AC
15、的中点G，连结G、FG， 为BC的中点， 又E为的中点，且 四边形为平行四边形， ， 平面平面EAB， 而平面， 平面EAB 【点睛】本题考查仔细与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面平行的性质定理的应用，考 查空间想象能力以及逻辑推理能力 19.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取 30 次的 随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的 30 次随堂测试成绩如下 满分为 100 分 ： 88 58 50 36 75 39 57 62 72 51 85 39 57 53 72 46 64 74 53 50 44 83 70 63 71 64
16、 54 62 61 42 把学生甲的成绩按，分成 6 组，列出频率分布表，并 画出频率分布直方图； 为更好的分析学生甲存在的问题，从随堂测试成绩 50 分以下 不包括 50 分 的试卷中随机抽取 3 份进行 分析，求恰有 2 份成绩在内的概率 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 13 【分析】 先作出频率分布表，由此能画出频率分布直方图 成绩在内的有 3 个数据，记为A，B，C，成绩在内的有 3 个数据，记为a，b，c，从， 共 6 个数据中任意抽取 3 个，利用列举法能求出恰有 2 份成绩在内的概率 【详解】解：频率分布表为： 分组频数累计频率 3 3 9 6 6 3 合计 301 画出频率分布直方图如下： 成绩在内的有 3 个数据，记为A，B，C， 成绩在内的有 3 个数据，记为a，b，c， 则从，共
