《浙江版2018年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江版2018年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和讲（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第02节 等差数列及其前n项和【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测等差数列的概念与运算1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；2.了解等差数列与一次函数.2013浙江文19；理18；2014浙江文19；2015浙江文10,17；理3；2016浙江文8；,理6；2017浙江6.1.利用方程思想进行基本量的计算.2等差、等比数列的综合问题.3.特别关注:(1)方程思想在数列计算中的应用;(2)等差数列的通项公式、前n项和公式的综合应用.等差数列的前n项和1.掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；2.会用数列的等差关系解决实际问题.2013浙江文19；理18；2014浙江文19； 201
2、5浙江理3；2016浙江文8；,理6；2017浙江6.【知识清单】一等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .，成等差数列.4.等差数列的前和的求和公式：.5.要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差
3、是同一个常数，那么此数列不是等差数列6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列中，若，则_.【答案】二、等差数列的前n项和等差数列的前和的求和公式：.对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列的前项和为，若， ，则_， 的最大值为_【答案】 5 4.【解析】，因为，又的最小值为2，可知的最大值为4.三、等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，；，；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等
4、差数列中，若，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列2设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则； ；（）若项数为奇数，设共有项，则(中间项)；.3.,则,.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.6等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值时为递减数列，且当时前n项和有最大值对点练习：1
5、.在等差数列中，已知，则= （ ）A10 B18 C20 D28【答案】C2.已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由,得,由知,所以最大，故B正确.【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况选择题、填空题、解答题多种题型加以考查【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算【1-1】【2017全国卷1（理）】记为等差数列的前项和若，则的公差为（ ）.A1 B2 C4 D8【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理）】等
6、差数列的前项和为，则 【答案】【解析】设首项为，公差为则，求得，则，.【1-3】【2017届天津市耀华中学二模】已知等差数列的前项和为，且，若记，则数列（ ）A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列又不是等比数列【答案】C【领悟技法】 1等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,) 是等差数列;(4)前项和公式：(为常数, ) 是等差数列;(5)是等差数列是等差数列.2活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问
7、题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可5.等差数列的前n项和公式若已知首项和末项，则，或等差数列an的首项是，公差是，
8、则其前项和公式为.【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】在张丘建算经有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ）A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】C【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列满足.（）求证：数列是等差数列；（）若数列满足，求的前项和.【答案】（）证明见解析 （）【解析】试题分析：（1）先依据题设条件将变形为，进而借助等差数列的定义证明数列是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得,进而依据求得 从而求得，然后与运用错位相减法求得：解：（）若，则，这与
9、矛盾，由已知得，故数列是以为首项，2为公差的等差数列. （）由（）可知， ，由可知.又 ，则，考点2 等差数列的性质【2-1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列满足 ，且， ，则（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【2-2】【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】在数列中， ， ，且（），则的值是（ ）A. -10 B. 10 C. 50 D. 70【答案】C【解析】由得，即数列是等差数列，由，可得，所以，当时， ，当时， ，所以，选C【2-3】 【2017届宁夏石嘴山市第三中学高三三模】已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差
10、不为0的等差数列,且,则的前100项的和为( )A. B. C. D. 【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【触类旁通】【变式一】
11、【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】设等差数列的前项和为，已知， ，则下列选项正确的是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A【解析】由， 可得： ，构造函数，显然函数是奇函数且为增函数，所以， ，又所以所以，故【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是_【答案】【解析】由题意可得， ， 得，又， ，即，原式可化为当m+n=p+q时，即为等差列， ， =2019，填2019.考点3 等差数列的前项和公式的综合应用【3-1】【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列满足且，则使的的值为(
12、 )A. B. C. D. 【答案】C【3-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】设等差数列的前项和为，已知，则公差 ；为最大值时的 【答案】 或【解析】，因为，当，由得或时，为最大值【3-3】【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：；数列中的最大项为；，其中正确命题的个数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【领悟技法】求等差数列前项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，满足的项数使得取最大值，(2)当，时
13、，满足的项数使得取最小值.2.利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.【触类旁通】【变式一】【2017浙江卷6】已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 + S62S5”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充
14、分也不必要条件【答案】C【变式二】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列满足， ，且有最小值，则这个最小值为_【答案】-12【解析】因为数列是等差数列，且，所以， 是一元二次方程的二根，由得， 或，当时， ， ，当时， 取得最小值，由解得， 时， 取得最小值，此时，当时， ， ，当时， 取得最小值，由解得， 时， 取得最小值，此时， 故答案为.【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列中，已知a120，前n项和为，且S10S15，求当n取何值时，有最大值，并求出它的最大值【错解一】设公差为d，S10S15，1020d1520d.得d，an20(n1).当an0时，20(n1)0，n13.n12时，Sn最大，S121220130.当n12时，Sn有最大
