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1、课时跟踪检测(七) 直线与椭圆的位置关系层级一学业水平达标1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相切B相交C相离 D不确定解析:选B直线ykxk1可变形为y1k(x1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆1内部,所以直线ykxk1与椭圆1相交,故选B2椭圆mx2ny21与直线y1x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是()A BC D解析:选A由消去y得,(mn)x22nxn10设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为(x0,y0),则x1x2,x0,代入y1x得y0由题意,选A3已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取
2、值范围是()A(0,1) B0,C0, D,1解析:选C,点M在以F1F2为直径的圆上,又点M在椭圆内部,cb,c2b2a2c2,即2c2a2,即0,0eb0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为()A1 B1C1 D1解析:选D因为直线AB过点F(3,0)和点(1,1),所以直线AB的方程为y(x3),代入椭圆方程1消去y,得x2a2xa2a2b20,所以AB的中点的横坐标为1,即a22b2,又a2b2c2,所以bc3所以E的方程为16椭圆x24y216被直线yx1截得的弦长为_解析:由消去y并化简得x22x60设直线与椭圆的交点为M
3、(x1,y1),N(x2,y2),则x1x22,x1x26弦长|MN|x1x2| 答案:7已知动点P(x,y)在椭圆1上,若A点坐标为(3,0),| |1,且0,则|的最小值是_解析:易知点A(3,0)是椭圆的右焦点0,|2| |2|2|21,椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故|min2,|min答案:8若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为_解析:由1可得F(1,0)设P(x,y),2x2,则x2xy2x2x31x2x3(x2)22,当且仅当x2时,取得最大值6答案:69已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点,交椭圆于A,B两点,求弦AB的长解:a24
4、,b21,c,右焦点F(,0),直线l的方程yx由消去y并整理,得5x28x80设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,|AB|,即弦AB的长为10设椭圆C:1(ab0)过点(0,4),离心率为(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解:(1)将(0,4)代入C的方程得1,b4又e,得,即1,a5,C的方程为1(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y(x3)代入C的方程,得1,即x23x80,解得x1x23,AB的中点坐标 x0,y0(x1x2
5、6),即中点坐标为层级二应试能力达标1若直线mxny4和圆O:x2y24没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆1的交点个数为()A2B1C0 D0或1解析:选A由题意,得 2,所以m2n24,则2m2,2n0,即k或k时,直线与椭圆有两个公共点故选C3若点(x,y)在椭圆4x2y24上,则的最小值为()A1 B1C D以上都不对解析:选C设k,则yk(x2)由消去y,整理得(k24)x24k2x24(k21)0,16k444(k21)(k24)0,解得k,kmin选C4已知F1(c,0),F2(c,0)为椭圆1的两个焦点,P(不在x轴上)为椭圆上一点,且满足c2,则椭圆离心率的取值范围是()
6、A BC D解析:选C由椭圆的定义,得|PF1|PF2|2a,平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2又c2,|PF1|PF2|cosF1PF2c2,由余弦定理,得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2|F1F2|24c2,由,得cosF1PF21,所以ca,即eb0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得0,根据题意有x1x2212,y1y2212,且,所以0,得a22b2,所以a22(a2c2),整理得a22c2,所以,即e答案:7已知F1,F2分别是椭圆y21的
7、左、右焦点,过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且AOB(O为坐标原点)为锐角,求直线l的斜率k的取值范围解:显然直线x0不满足题设条件,故设直线l:ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)联立消去y并整理,得x24kx30,所以x1x2,x1x2由(4k)2124k230,得k或k又0AOB00,所以x1x2y1y20又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)44,所以0,即k24,所以2k2综合,得直线l的斜率k的取值范围为2,8(2016浙江高考)如图,设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A
8、(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围解:(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AP,由得(1a2k2)x22a2kx0,故x10,x2.因此|AP|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|,|AQ|,故,所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由k1k2,k1,k20得1kka2(2a2)kk0,因此1a2(a22)因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1,所以a.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a.由e,得0e.所求离心率的取值范围为.