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1、课时跟踪检测(十九) 抛物线的简单几何性质层级一学业水平达标1已知抛物线的对称轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x4y110上,则此抛物线的方程是()Ay211xBy211xCy222x Dy222x解析:选C在方程2x4y110中,令y0得x,抛物线的焦点为F,即,p11,抛物线的方程是y222x,故选C2过点(2,4)作直线l,与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线l有()A1条 B2条C3条 D4条解析:选B可知点(2,4)在抛物线y28x上,过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行3设O为坐标原点,F为抛物线y24x的
2、焦点,A为抛物线上一点,若4,则点A的坐标为()A(2,2 ) B(1,2)C(1,2) D(2,2)解析:选B设A(x,y),则y24x,又(x,y),(1x,y),所以xx2y24由可解得x1,y24过点(1,0)作斜率为2的直线,与抛物线y28x交于A,B两点,则弦AB的长为()A2B2C2 D2解析:选B设A(x1,y1),B(x2,y2)由题意知AB的方程为y2(x1),即y2x2由得x24x10,x1x24,x1x21|AB|25设F为抛物线C:y23x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A BC D解析:选D易知抛物线中p,焦点F,
3、直线AB的斜率k,故直线AB的方程为y,代入抛物线方程y23x,整理得x2x0设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12,结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30,所以OAB的面积S|AB|d6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_解析:将yx1代入y24x,整理,得x26x10由根与系数的关系,得x1x26,3,2所求点的坐标为(3,2)答案:(3,2)7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析:抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x1
4、由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p,即x1x227,得x1x25,于是弦AB的中点M的横坐标为因此,点M到抛物线准线的距离为1答案:8过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧),则_解析:由题意可得焦点F,故直线AB的方程为yx,与x22py联立得A,B两点的横坐标为xAp,xBp,故Ap,p,Bp,p,所以|AF|p,|BF|2p,所以答案:9已知抛物线y26x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线方程解:设弦的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)P1,P2在抛物线上,y6x1
5、,y6x2两式相减得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22,代入得k3直线的方程为y13(x4),即3xy11010已知直线l经过抛物线y24x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点(1)若|AF|4,求点A的坐标;(2)求线段AB的长的最小值解:由y24x,得p2,其准线方程为x1,焦点F(1,0)设A(x1,y1),B(x2,y2)(1)由抛物线的定义可知,|AF|x1,从而x1413代入y24x,解得y12点A的坐标为(3,2)或(3,2)(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立,得消去y,整理得k2x2(2k24)xk20直线与抛物线相交于A,B
6、两点,则k0,并设其两根为x1,x2,x1x22由抛物线的定义可知,|AB|x1x2p44当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,2),此时|AB|4,|AB|4,即线段AB的长的最小值为4层级二应试能力达标1边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,ABx轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是()Ay2xBy2xCy2x Dy2x解析:选C设抛物线方程为y2ax(a0)又A(取点A在x轴上方),则有a,解得a,所以抛物线方程为y2x故选C2过抛物线y24x的焦点,作一条直线与抛物线交于A,B两点,若它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A有且仅有一条
7、 B有两条C有无穷多条 D不存在解析:选B设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,知|AB|x1x2p527又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短,且|AB|min2p4,所以这样的直线有两条故选B3直线ykx2交抛物线y28x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k()A2或2 B1或1C2 D3解析:选C由得k2x24(k2)x40又由16(k2)216k20,得k1则由4,得k2故选C4已知抛物线C:y28x与点M(2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若0,则k()A BC D2解析:选D由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直
8、线AB的方程为yk(x2),将其代入y28x,得k2x24(k22)x4k20设A(x1,y1),B(x2,y2),则由0,(x12,y12)(x22,y22)0(x12)(x22)(y12)(y22)0,即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40由解得k2故选D项5已知抛物线C:y22px(p0)的焦点坐标为(1,0),则p_;若抛物线C上一点A到其准线的距离与到原点距离相等,则A点到x轴的距离为_解析:抛物线C:y22px(p0)的焦点坐标为(1,0),1,即p2.点A到其准线的距离与到原点距离|OA|相等,且点A到准线的距离等于|AF|,|OA|AF|,A点的横坐标为,y42,
9、解得|yA|,即A到x轴的距离为.答案:26顶点为坐标原点,焦点在x轴上的抛物线,截直线2xy10所得的弦长为,则抛物线方程为_解析:设所求抛物线方程为y2ax(a0),联立得4x2(4a)x10,则(4a)2160,得a8或a0)的焦点为F,直线y4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|PQ|(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程解:(1)设Q(x0,4),代入y22px得x0所以|PQ|,|QF|x0由题设得,解得p2(舍去)或p2所以C的方程为y24x(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24m,y1y24故AB的中点为D(2m21,2m),|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m,所以l的方程为xy2m23将上式代入y24x,并整理得y2y4(2m23)0设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3y4,y3y44(2m23)故MN的中点为E,|MN|y3y4|由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|,从而|AB|2|DE|2|MN|2,即4(m21)222化简得m210,解得m1或m1所求直线l的方程为xy10或xy10