《江苏专版2019版高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.1椭圆讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专版2019版高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.1椭圆讲义（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、15.1椭圆命题探究(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是+=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x00,y00.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x01时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1PF1,l2PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1),直线l2的方程:y=-(x-1).由,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=y0,即-=1
2、或+=1.又P在椭圆E上,故+=1.由解得x0=,y0=;无解.因此点P的坐标为.考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.椭圆的定义和标准方程椭圆的标准方程B18题16分填空题解答题2.椭圆的性质椭圆的性质及应用B12题5分17题14分10题5分填空题解答题分析解读椭圆的标准方程和几何性质是江苏高考的必考内容,重点考查椭圆方程的求解,椭圆离心率的求法,在解答题中对运算化简能力的要求比较高.五年高考考点一椭圆的定义和标准方程1.(2014大纲全国改编,6,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交
3、C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为.答案+=12.(2014福建改编,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是.答案63.(2013课标全国理改编,10,5分)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为.答案+=14.(2017课标全国,20,12分)已知椭圆C:+=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B
4、的斜率的和为-1,证明:l过定点.解析(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=,由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)+(m-1)=0.解得k=-.当且仅当m-1时,0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2
5、,-1).5.(2017天津文,20,14分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.解析(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-
6、2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=,所以FQN的面积为|FQ|QN|=
7、,同理FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.6.(2016山东,21,14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的长轴长为4,焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k,证明为定值;(ii)求直线AB的斜率的最小值.解析(1)设椭圆的半焦距为c.由题意知2a=4,2c=2,所以a=2,b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)(i)
8、证明:设P(x0,y0)(x00,y00).由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k=,直线QM的斜率k=-.此时=-3.所以为定值-3.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的方程为y=kx+m,直线QB的方程为y=-3kx+m.联立整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由x0x1=,可得x1=.所以y1=kx1+m=+m.同理x2=,y2=+m.所以x2-x1=-=,y2-y1=+m-m=,所以kAB=.由m0,x00,可知k0,所以6k+2,等号当且仅当k=时取得.此时=,即m=,符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为.
9、7.(2016北京,19,14分)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.解析(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(3分)又c=,所以离心率e=.(5分)(2)设P(x0,y0)(x00,y0b0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.解析(1)由题意,得=
10、且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当ABx轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB=.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.因为PC=2AB,所以=,解得k=1.此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.9.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+
11、=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,因为kOM=,所以=.所以a=b,c=2b.故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.因为点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,所以有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.1
12、0.(2014课标,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求l的方程.解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线
13、PQ的距离d=,所以OPQ的面积SOPQ=d|PQ|=.设=t,则t0,SOPQ=.因为t+4,当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0,所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.教师用书专用(1117)11.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得xB=,从而yB=.由
