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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理 理 1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A；变形b2c2a22accos_B；c2a2b22abcos_C(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABC
2、absin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，三角形为钝角三角形()(5)在三角
3、形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()1已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B_.答案解析由sin A，sin B，sin C，代入整理得：c2b2aca2，所以a2c2b2ac，即cos B，所以B.2在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为_答案解析因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.3(2015北京)在ABC中，a4，b5，c6，则_.答案1解析由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.4在ABC中，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_三
4、角形答案直角解析由已知得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，sin(BC)sin2A，sin Asin2A，又sin A0，sin A1，A，ABC为直角三角形5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos Cbsin Cac0，则角B_.答案解析由正弦定理知，sin Bcos Csin Bsin Csin Asin C0.sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，代入上式得sin Bsin Ccos Bsin Csin C0.sin C0，sin Bcos B10，2sin1，即sin.B(0，)，B.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角
5、形例1(1)在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有_个(2)在ABC中，已知sin Asin B1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_(3)(2015广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.答案(1)2(2)45，30，105(3)1解析(1)bsin A，bsin AaB，B30，C105.(3)因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.思维升华(1)判断三角形解的个数的两种方法代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断几何图形法：根据
6、条件画出图形，通过图形直观判断解的个数(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数(1)(2015三门峡模拟)已知在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是_(2)在ABC中，A60，AC2，BC，则AB_.答案(1)2x2(2)1解析(1)若三角形有两解，则必有ab，x2，又由sin Asin B1，可得x2，x的取值范围是2x2.(2)A60，AC2，BC，设ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcos A，化简得x22x10，x1，即AB1.
7、题型二和三角形面积有关的问题例2(2015浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bcoscossin 2C2sin Ccos C，由解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因为A，bcsin A3，所以bc6，故b3.思维升华(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcs
8、in A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积解(1)由题设A与C互补及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos C，BD，因为C是三角形内角，故C60.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin Csin 602.题型三正弦、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a
9、，b，c，若cos A，则ABC的形状为_三角形(2)(2015潍坊模拟)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为_三角形答案(1)钝角(2)直角解析(1)已知cos A，由正弦定理，得cos A，即sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0，于是有cos B0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形(2)cos2，cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形命题点2求解几何计算问题例4
10、(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.思维升华(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系
11、，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为_三角形(2)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案(1)等腰或直角(2)解析(1)cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos
12、 A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos Acos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)，ABC为等腰或直角三角形(2)sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233，即BD23，BD.二审结论会转换典例(14分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb，sin Bsin C.(1)求cos A的值；(2)求cos的值 (1) 求三边a，b，c长或长度问题利用正弦定理将化为 (2)规范解答解(1)ABC中，由，及sin Bsin C，可得bc，2分又由acb，有a2c，4分所以cos A.7分(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.9分于是，cos 2A2cos2A1，
