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1、【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理 理 1正弦定理、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A;变形b2c2a22accos_B;c2a2b22abcos_C(1)a2Rsin A,b2Rsin_B,c2Rsin_C;(2)sin A,sin B,sin C;(3)abcsin_Asin_Bsin_C;(4)asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin Ccsin Acos A;cos B;cos C2.SABC
2、absin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R、r.3在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中,若sin Asin B,则AB.()(3)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时,三角形ABC为锐角三角形;当b2c2a20时,三角形为直角三角形;当b2c2a20时,三角形为钝角三角形()(5)在三角
3、形中,已知两边和一角就能求三角形的面积()1已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则B_.答案解析由sin A,sin B,sin C,代入整理得:c2b2aca2,所以a2c2b2ac,即cos B,所以B.2在ABC中,A60,AB2,且ABC的面积为,则BC的长为_答案解析因为SABACsin A2AC,所以AC1,所以BC2AB2AC22ABACcos 603,所以BC.3(2015北京)在ABC中,a4,b5,c6,则_.答案1解析由余弦定理:cos A,sin A,cos C,sin C,1.4在ABC中,若bcos Cccos Basin A,则ABC的形状为_三
4、角形答案直角解析由已知得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A,sin(BC)sin2A,sin Asin2A,又sin A0,sin A1,A,ABC为直角三角形5在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos Cbsin Cac0,则角B_.答案解析由正弦定理知,sin Bcos Csin Bsin Csin Asin C0.sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C,代入上式得sin Bsin Ccos Bsin Csin C0.sin C0,sin Bcos B10,2sin1,即sin.B(0,),B.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角
5、形例1(1)在ABC中,已知a2,b,A45,则满足条件的三角形有_个(2)在ABC中,已知sin Asin B1,c2b2bc,则三内角A,B,C的度数依次是_(3)(2015广东)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a,sin B,C,则b_.答案(1)2(2)45,30,105(3)1解析(1)bsin A,bsin AaB,B30,C105.(3)因为sin B且B(0,),所以B或B.又C,BC,所以B,ABC.又a,由正弦定理得,即,解得b1.思维升华(1)判断三角形解的个数的两种方法代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断几何图形法:根据
6、条件画出图形,通过图形直观判断解的个数(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理,也可用余弦定理用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数(1)(2015三门峡模拟)已知在ABC中,ax,b2,B45,若三角形有两解,则x的取值范围是_(2)在ABC中,A60,AC2,BC,则AB_.答案(1)2x2(2)1解析(1)若三角形有两解,则必有ab,x2,又由sin Asin B1,可得x2,x的取值范围是2x2.(2)A60,AC2,BC,设ABx,由余弦定理,得BC2AC2AB22ACABcos A,化简得x22x10,x1,即AB1.
7、题型二和三角形面积有关的问题例2(2015浙江)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A,b2a2c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A,即BC,得cos 2Bcoscossin 2C2sin Ccos C,由解得tan C2.(2)由tan C2,C(0,)得sin C,cos C,因为sin Bsin(AC)sin,所以sin B,由正弦定理得cb,又因为A,bcsin A3,所以bc6,故b3.思维升华(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcs
8、in A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化四边形ABCD的内角A与C互补,AB1,BC3,CDDA2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积解(1)由题设A与C互补及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C,BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos C,BD,因为C是三角形内角,故C60.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin Csin 602.题型三正弦、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a
9、,b,c,若cos A,则ABC的形状为_三角形(2)(2015潍坊模拟)在ABC中,cos2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为_三角形答案(1)钝角(2)直角解析(1)已知cos A,由正弦定理,得cos A,即sin Csin Bcos A,所以sin(AB)sin Bcos A,即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0,所以cos Bsin A0,于是有cos B0,B为钝角,所以ABC是钝角三角形(2)cos2,cos2,(1cos B)cac,acos Bc,2a2a2c2b2,a2b2c2,ABC为直角三角形命题点2求解几何计算问题例4
10、(2015课标全国)如图,在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍(1)求;(2)若AD1,DC,求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD,SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC,BADCAD,所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC,所以BD.在ABD和ADC中,由余弦定理,知AB2AD2BD22ADBDcosADB,AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26,由(1)知AB2AC,所以AC1.思维升华(1)判断三角形形状的方法化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系
11、,从而判断三角形的形状化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示;选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理(1)在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,若cacos B(2ab)cos A,则ABC的形状为_三角形(2)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC,AB3,AD3,则BD的长为_答案(1)等腰或直角(2)解析(1)cacos B(2ab)cos A,C(AB),由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos
12、 A,sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos Acos A(sin Bsin A)0,cos A0或sin Bsin A,A或BA或BA(舍去),ABC为等腰或直角三角形(2)sinBACsin(BAD)cosBAD,cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233,即BD23,BD.二审结论会转换典例(14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acb,sin Bsin C.(1)求cos A的值;(2)求cos的值 (1) 求三边a,b,c长或长度问题利用正弦定理将化为 (2)规范解答解(1)ABC中,由,及sin Bsin C,可得bc,2分又由acb,有a2c,4分所以cos A.7分(2)在ABC中,由cos A,可得sin A.9分于是,cos 2A2cos2A1,