《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极值、最值 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极值、最值 理（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时2导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值、极小值分别是_答案f(2)、f(2)解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求函数的极值例2 已知函数f(x)ax33x21(aR且a0)，求函数f(x)的极大值与极小值解由题设知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情
2、况如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，)(，0)0(0，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.综上，f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.命题点3已知极值求参数例3(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.(2)若函数f(x)x2x1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是_答案(1)7(2)(2，)解析(1)由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(
3、x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，则当x(，3)时，f(x)x2ax10恒成立或当x(，3)时，f(x)x2ax10恒成立当x(，3)时，yx的值域是2，)；当x(，3)时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a2；当x(，3)时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，实数a的取值范围是(2，)思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f
4、(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值(1)函数y2x的极大值是_(2)设f(x)ln(1x)xax2，若f(x)在x1处取得极值，则a的值为_答案(1)3(2)解析(1)y2，令y0，得x1.当x0；当x1时，y0.当x1时，y取极大值3.(2)由题意知，f(x)的定义域为(1，)，且f(x)2ax1，由题意得：f(1)0，则2a2a10，得a，又当a时，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a.
5、题型二用导数求函数的最值例4已知aR，函数f(x)ln x1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值解(1)当a1时，f(x)ln x1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)因此f(2)，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为.又f(2)ln 2，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln 2)(x2)，即x4y4ln 240.(2)因为f(x)ln x1，所以f(x).令f(x)0，得xa.若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，当x(0，a)时，f(
6、x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于_答案1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)a
7、x2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.思维升华求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_答案13解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)
8、0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1,0)上单调递减，在0,1上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.3利用导数求函数的最值问题典例(14分)已知函数f(x)ln xax (aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值思维点拨(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)2分当a
9、0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.7分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.9分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.13分综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a.14分
10、用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1,2上的最值，属常规题型(2)本题的难点是分类讨论考生在分类时易出现不全面，不准确的情况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题方法与技巧1如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可3当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值4求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小失误与防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论
