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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 文1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：
2、设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角范围：.3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于
3、线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(6)没有公共点的两条直线是异面直线()1下列命题正确的个数为_梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合答案2解析中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b_.一定是异面直线 一定是相交直线不可能是平行直线 不可能是相交直线答案解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面
4、直线相矛盾3(教材改编)两两平行的三条直线可确定_个平面答案1或3解析三直线共面确定1个，三直线不共面，每两条确定1个，可确定3个4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB2，AD2，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_答案4560解析BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即EGF，tanEGF1，EGF45，AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即GBF，tanGBF，GBF60.5已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)其中正确的是_答案解析
5、如图，取BC的中点O，连结MO，NO，MN，则OMAC，ONBD，在MON中，MNOMON(ACBD)，正确题型一平面基本性质的应用例1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明(1)如图，连结EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直
6、线DA.CE、D1F、DA三线共点思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四边形BCHG为平行四边形(2)解BE綊AF，G是FA的中点，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.
7、由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)(2015广东改编)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_l与l1，l2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是_MN与CC1垂直；MN与AC垂直；MN与BD平行；MN与A1B1平行(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是
8、异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案(1)(2)(3)解析(1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，连结B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD.又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行(3)图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中
9、GH与MN异面思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.题型三求两条异面直
10、线所成的角例3(1)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_答案60解析取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E即为所求，设AB1，则A1A，AB1，B1E，故AB1E60.所以异面直线AB1与BD所成的角为60.(2)空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小解如图，取AC的中点G，连结EG、FG，则EG綊AB，FG綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角A
11、B与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解(1)(2015无锡模拟)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则
12、异面直线CE与BD所成角的余弦值为_(2)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_答案(1)(2)60解析(1)画出正四面体ABCD的直观图，如图所示设其棱长为2，取AD的中点F，连结EF，设EF的中点为O，连结CO，则EFBD，则FEC就是异面直线CE与BD所成的角ABC为等边三角形，则CEAB，易得CE，同理可得CF，故CECF.因为OEOF，所以COEF.又EOEFBD，所以cosFEC.(2)如图，可补成一个正方体，AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160.即BA1与AC1
13、成60的角16构造模型判断空间线面位置关系典例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是_思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确答案温馨提醒(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不
