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1、第六节双曲线A组基础题组1.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为()A.2B.2 C.D.12.双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线C的离心率是()A.B.C.2 D.3.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=x B.y=xC.y=x D.y=x4.已知双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=15.(2017课标全国,5,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程
2、为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.B.C.1D.7.(2017北京,10,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.8.(2018北京朝阳期末)已知双曲线C的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线C的方程是.9.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为
3、37.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为该椭圆与双曲线的一个交点,求cosF1PF2的值.10.已知双曲线的中心在原点,左,右焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)在(2)的条件下,求F1MF2的面积.B组提升题组11.(2016课标全国,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)12.已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左,右焦点,若=0,则点P到x轴的距离为(
4、)A.B.C.2 D.13.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,C.(,+)D.,+)14.(2017北京东城一模)如果直线l:y=kx-1(k0)与双曲线-=1的一条渐近线平行,那么k=.15.(2016北京西城二模)设双曲线C的焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,则其离心率为;若点(4,2)在C上,则双曲线C的方程为.16.设A,B分别为双曲线-=1(a0,b0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值
5、及点D的坐标.答案精解精析A组基础题组1.A由题意知双曲线的渐近线方程为y=x,焦点坐标为(4,0),故焦点到渐近线的距离d=2.2.A由双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=2x,可得=2,e=.故选A.3.C由双曲线的离心率e=可知=,而双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,故选C.4.A由题意可得解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.5.B由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为-=k(k0),即-=1,双曲线与椭圆+=1有公共焦点,4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为-=1.故选B.6.C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c
6、,0),且垂直于A1A2,即x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以=,=,因为A1BA2C,所以=0,即(c+a)(c-a)-=0,即c2-a2-=0,所以b2-=0,故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为,故该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.7.答案2解析本题考查双曲线的性质.由题意知,a2=1,b2=m.e=,m=2.8.答案-=1解析抛物线y2=8x的焦点为(2,0),即双曲线C的焦点为(2,0),故c=2,因为双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,所以a=b,由c2=a2+b2得,a=b=,故双曲线C的方程为-=1.9.解析(1
7、)设椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,则解得a=7,m=3,b=6,n=2.椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)不妨令F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4,又|F1F2|=2,cosF1PF2=.10.解析(1)e=,可设双曲线的方程为x2-y2=(0).双曲线过点(4,-),16-10=,即=6,双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),=,=,=-.点M(3,m)在双曲线上,9-m2=
8、6,m2=3,故=-1,MF1MF2,即=0.证法二:由证法一知=(-2-3,-m),=(2-3,-m),=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2,点M在双曲线上,9-m2=6,即m2-3=0,=0.(3)F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=.F1MF2的高h=|m|=,=6.B组提升题组11.A原方程表示双曲线,且焦距为4,或由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A.12.C由题意知F1(-,0),F2(,0),不妨取l的方程为y=x,设点P(x0,x0),由=(-x0,-x0)(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=,故点P到x轴的距离为|x0|=2,故选C.13.C双曲线的一
9、条渐近线方程为y=x,由题意得2,e=.14.答案解析由题意知,双曲线-=1的渐近线方程为y=x.由直线l:y=kx-1(k0)与双曲线-=1的一条渐近线平行,可得k=.15.答案;-=1解析由题意知=,=,=.-1=,e2-1=,e=.设双曲线方程为-=(0),点(4,2)在双曲线上,-=,=2,双曲线C的方程为-=1.16.解析(1)由题意知a=2,一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,=,b2=3,双曲线的方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),+=t,x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,所以y1+y2=12,点D在双曲线的右支上,解得t=4,点D的坐标为(4,3).
