《2019版高考数学一轮复习第五章数列第29讲等差数列及其前n项和学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第五章数列第29讲等差数列及其前n项和学案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第29讲等差数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.2016全国卷，32016浙江卷，62016天津卷，181.利用公式求等差数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明等差数列2利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值.分值：57分1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数_，那么这个数列就叫做等差数列，
2、这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示，定义表达式为_anan1d(常数)(nN*，n2)_或_an1and(常数)(nN*)_.(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A_.2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_ana1(n1)d_.(2)等差数列的前n项和公式设等差数列的公差为d，其前n项和Sn_na1d_或Sn_.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(nm)d_(n，mN*)(2)若为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_akalaman_.(3)若是等差数
3、列，公差为d，则也是等差数列，公差为_2d_.(4)若，是等差数列，公差为d，则也是等差数列(5)若是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_md_的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(7)S2n1(2n1)an.(8)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列的单调性是由公差d决定的()(4)数列为等差数列的充要条件
4、是其通项公式为n的一次函数()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()解析 (1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列(2)正确如果数列an为等差数列，根据定义an2an1an1an，即2an1anan2；反之，若对任意nN*，都有2an1anan2，则an2an1an1ananan1a2a1，根据定义数列an为等差数列(3)正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d0时为递减数列(4)错误根据等差数列的通项公式，ana1(n1)ddn(a1d)，只有当d0时，等差数列的通项公式才是n的一次函数，否则不是(5)错误根据等差数列的前
5、n项和公式Snna1dn2n，显然只有公差d0时才是关于n的常数项为0的二次函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1d0时)2已知等差数列的前n项和为Sn，且满足1，则数列的公差是(C)AB1C2D3解析 由1，得(a1d)1，所以d2.3在等差数列中，a2a6，则sin(D)ABCD解析 a2a6，2a4.sinsincos .4在等差数列中，已知a4a816，则该数列前11项和S11(B)A58B88C143D176解析 S1188.5在数列中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an_2n1_.解析 由an1an2知an为等差数列，其公差为2.故an1(n1)22n1.一
6、等差数列的基本量计算(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法【例1】 (1)在等差数列中，a1a58，a47，则a5(B)A11B10C7D3(2)设等差数列的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m_5_.解析 (1)设数列an的公差为d，则有解得所以a524310.(2)由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差dam
7、1am321，由得解得二等差数列的性质及应用在等差数列中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具【例2】 (1)设等差数列的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_114_.(2)已知，都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_21_.解析 (1)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63；又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2(453)(312)(S1245)，解得S12114.(2)因为an，bn都
8、是等差数列，所以2a3a1a5,2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621.三等差数列的判定与证明判定数列是等差数列的常用方法：(1)定义法：对任意nN*，an1an是同一常数(2)等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1.(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.【例3】 已知数列的前n项和为Sn，a12，且满足an1Sn2n1(nN*)(1)证明：数列为等差数列；(2)求S1S2Sn的值解析 (1)证明：由条件可知，Sn1SnSn2n
9、1，即Sn12Sn2n1，整理得1.因为1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)可知，1n1n，所以Snn2n.令TnS1S2Sn，则Tn12222n2n，2Tn122(n1)2nn2n1，得Tn2222nn2n1，整理得Tn2(n1)2n1.四等差数列前n项和的最值问题求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解(2)通项公式法：求使an0(an0)成立时最大的n值即可一般地，等差数列中，若a10，且SpSq(pq)，则：若pq为偶数，则当n时，Sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，Sn最大【例4】 等
10、差数列中，a10，S5S12，当n为何值时，Sn有最大值？解析 设等差数列an的公差为d，由S5S12得5a110d12a166d，da10，得n23.5，所以使akak10的值k为23.3等差数列中，a3，则cos(a1a2a6)_.解析 a1a2a63a3，cos(a1a2a6)cos .4数列中，a123，an1an30.(1)求数列的前n项和Sn；(2)求使得数列是递增数列的n的取值范围解析 (1)因为an1an30，所以an1an3，即数列an是等差数列，公差d3.又a123，所以数列an的前n项和为Sn23nn(n1)3，即Snn2n.(2)Snn2n的对应函数为f(x)x2x，它
11、的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为x.当x时，函数f(x)是增函数因为89，且89，所以f(8)a7a80a9，n7或8时，Sn最大答案 7或8【跟踪训练1】 (2018山西孝义模拟)在等差数列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使Sn取到最大值的n是(B)A21B20C19D18解析 因为a1a3a53a3105，a2a4a63a499，所以a335，a433.所以d2，a139.由ana1(n1)d392(n1)412n0，解得n，所以当n20时，Sn达到最大值，故选B课时达标第29讲解密考纲主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及一、选择题1已知等差数列an的前
