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1、2018版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例真题演练集训 理 新人教A版12016四川卷在平面内，定点A，B，C，D满足|，2，动点P，M满足|1，则|2的最大值是()A. B.C. D.答案：B解析：由|知，D为ABC的外心由知，D为ABC的内心，所以ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EMAP，所以|max|BE|，则|，故选B.22015福建卷已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A13 B15 C19 D21答案：A解析： ，故以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系不妨设B
2、，C(t,0)，则(4,1)，故点P的坐标为(4,1)(t4，1)4t171721713.当且仅当4t，即t时(负值舍去)取得最大值13.32015天津卷在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_答案：解析：在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60，可得ADDC1.建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C，D，(2,0)，(1,0) ， E. ， F. 2，当且仅当，即时等号成立，符合题意 的最小值为.42016江苏卷如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
3、4，1，则的值是_答案：解析：解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，(ba，c)，(ba，c)，由b2a2c24，a21，解得b2c2，a2，则(b2c2)a2.解法二：设a，b，则(a3b)(a3b)9|b|2|a|24，(ab)(ab)|b|2|a|21，解得|a|2，|b|2， 则(a2b)(a2b)4|b|2|a|2. 课外拓展阅读 巧解平面向量高考题的5种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题在历年高考中都会对该部分内容进行
4、考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答典例若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1C. D2解法一：目标不等式法思路分析解析因为|a|b|c|1，ab0，所以|ab|2a2b22ab2，故|ab|.展开(ac)(bc)0，得ab(ab)cc20，即0(ab)c10，整理，得(ab)c1.而|abc|2
5、(ab)22(ab)cc232(ab)c，所以32(ab)c3211.所以|abc|21，即|abc|1.答案B解法二：向量基底法思路分析解析取向量a，b作为平面向量的一组基底，设cmanb.由|c|1，即|manb|1，可得(ma)2(nb)22mnab1，由题意知，|a|b|1，ab0.整理，得m2n21.而ac(1m)anb，bcma(1n)b，故由(ac)(bc)0，得(1m)anbma(1n)b0，展开，得m(m1)a2n(n1)b20，即m2mn2n0.又m2n21，故mn1.而abc(1m)a(1n)b，故(abc)2(1m)a(1n)b(1m)2a22(1m)(1n)ab(1n
6、)2b2(1m)2(1n)2m2n22(mn)232(mn)又mn1，所以32(mn)1.故|abc|21，即|abc|1.答案B解法三：坐标法思路分析解析因为|a|b|1，ab0，所以a，b.设a，b，c，因为ab，所以OAOB.分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a(1,0)，b(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)设C(x，y)，则c(x，y)，且x2y21.则ac(1x，y)，bc(x,1y)，故由(ac)(bc)0，得(1x)(x)(y)(1y)0，整理，得1xy0，即xy1.而abc(1x,1y)，则|abc|.因为xy1，所以32(xy)1，即
7、|abc|1.所以|abc|的最大值为1.答案B解法四：三角函数法思路分析解析因为|a|b|1，ab0，所以a，b.设a，b，c，因为ab，所以OAOB.分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a(1,0)，b(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)因为|c|1，设COA，所以C点的坐标为(cos ，sin )则ac(1cos ，sin )，bc(cos ，1sin )，故由(ac)(bc)0，得(1cos )(cos )(sin )(1sin )0，整理，得sin cos 1.而abc(1cos ，1sin )，则|abc|.因为sin cos 1，所以32(sin cos )1，即|abc|1.所以|abc|的最大值为1.答案B解法五：数形结合法思路分析解析设a，b，c，因为|a|b|c|1，所以点A，B，C在以O为圆心、1为半径的圆上易知ac，bc，|c|.由(ac)(bc)0，可知0，则BCA(因为A，B，C在以O为圆心的圆上，所以A，B，C三点不能共线，即BCA)，故点C在劣弧AB上由ab0，得OAOB，设ab，如图所示，因为abc，所以|abc|，即|abc|为点D与劣弧AB上一点C的距离，显然，当点C与A或B点重合时，CD最长且为1，即|abc|的最大值为1.答案B
