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1、2018高考数学异构异模复习考案 第三章 导数及其应用 3.2.2 函数的极值与最值撬题 理1.设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，) B(，4)(4，)C(，2)(2，) D(，1)(1，)答案C解析x0是f(x)的极值点，f(x0)0，即cos0，得x0k，kZ，即x0mkm，kZ.xf(x0)2m2可转化为22m2，kZ，即2m23m2，kZ，即22成立即可又2的最小值为，1，解得m2.故选C.2已知函数f(x)x3bx2cxd(b，c，d为常数)，当x(0,1)时，f(x)取得极大值，当x(1,2)时，f(x)取得
2、极小值，则2(c3)2的取值范围是()A. B(，5)C. D(5,25)答案D解析因为f(x)3x22bxc，f(x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f(0)0，f(1)0，即作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b轴)，2(c3)2表示可行域内一点到点P的距离的平方，由图象可知，P到直线32bc0的距离最小，即2(c3)2的最小值为25，P到点A的距离最大，此时2(c3)225，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B，1)C2,1) D(2,1)答案C解析令f(x)3
3、x230，得x1，且x1为函数f(x)的极大值点，x1为函数f(x)的极小值点函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2，解得a1，且a2.故实数a的取值范围是2，1)4设函数f(x)(x1)kcosx(kN*)，则()A当k2013时，f(x)在x1处取得极小值B当k2013时，f(x)在x1处取得极大值C当k2014时，f(x)在x1处取得极小值D当k2014时，f(x)在x1处取得极大值答案C解析当k2013时，f(x)(x1)2013cosx，则f(x)
4、2013(x1)2012cosx(x1)2013sinx(x1)20122013cosx(x1)sinx，当x0；当1x0，此时函数x1不是函数f(x)的极值点，A、B选项均错误当k2014时，f(x)(x1)2014cosx，则f(x)2014(x1)2013cosx(x1)2014sinx(x1)20132014cosx(x1)sinx，当x1时，f(x)0；当1x0，此时函数f(x)在x1处取得极小值，故选C.5已知点M在曲线y3ln xx2上，点N在直线xy20上，则|MN|的最小值为_答案2解析本题考查导数的几何意义、点到直线的距离当点M处的曲线的切线与直线xy20平行时|MN|取得
5、最小值令y2x1，解得x1，所以点M的坐标为(1，1)，所以点M到直线xy20的距离为2，即|MN|的最小值为2.6函数f(x)x33x26在x_时取得极小值答案2解析依题意得f(x)3x(x2)当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0，f(x)0成立，求a的取值范围解(1)由题意知函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)a(2x1)，令g(x)2ax2axa1，x(1，)当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)单调递增，无极值点；当a0时，a28a(1a)a(9a8)a当0时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1.由g(1
6、)10，可得1x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；因此，函数有两个极值点当a0，由g(1)10，可得x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；所以函数有一个极值点综上所述，当a时，函数f(x)有两个极值点(2)由(1)知，当0a时，函数f(x)在(0，)上单调递增，因为f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意；当0，符合题意；当a1时，由g(0)0.所以x(0，x2)时，函数f(x)单调递减，因为f(0)0，所以x(0，x2)时，f(x
7、)0，不合题意；当a0，所以h(x)在(0，)上单调递增，因此当x(0，)时，h(x)h(0)0，即ln (x1)x.可得f(x)1时，ax2(1a)x0，此时f(x)0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21.由(1)知，f(x)在0,1上单调递增所以f(
8、x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a0)，由k0，知exkx0，令f(x)0，则x2，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数综上，f(x)的减区间为(0,2)，增区间为(2，)(2)由题意知f(x)0，即exkx0在(0,2)内存在两个不等实根令g(x)exkx，g(x)exk，令g(x)0，xln k，则0ln k2，即1ke2.当0xln k
9、时，g(x)0，g(x)为减函数当ln kx0，只需即得ek0.当a0时，f(x)0，f(x)在1,2上单调递增f(x)maxf(2)ln 2.当a0时，可令g(x)2ax2ax1，x1,2，g(x)的对称轴x且过点(0,1)当a0在1,2上恒成立，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)ln 22a.当a0时，若g(1)0，即a1时，f(x)0，g(2)0，即a0，g(2)0，即00在1,2上恒成立，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)ln 22a.综上：f(x)max.11已知函数f(x)x3ax24(aR)，f(x)是f(x)的导函数(1)当a2时，对于任意的m1,1，n1,1，求f(m)f(n)的最小值；(2)若存在x0(0，)，使f(x0)0，求a的取值范围解(1)由题意得f(x)x32x24，f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或.当x在1,1上变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,1)1f(x)701f(x)143对于m1,1，f(m)的最小值为f(0)4.f(x)3x24x的对称轴为直线x，且抛物线开口向下，对于n1,1，f(n)的最小值为f(1)7.f(m)f(n)的最小值为11.(2)f(x)3x.若a0，当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减又f(0)4，则当x
