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1、2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标45 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离 理解密考纲空间角涉及异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，距离主要是点到直线的距离或点到平面的距离，这些知识有时在选择题或填空题中考查，有时在解答题立体几何部分的第(2)问或第(3)问考查，难度适中一、选择题1已知三棱锥SABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为，1，则PS的长度为(D)A9B CD3解析：由条件可分别以SA，SB，SC为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系Sxyz，则点S的坐标为(0,0,0)，点P的坐标为(
2、，1，)，由两点之间的距离公式可得PS3.2在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(C)A30B45C60D90解析：不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(1,0,1)，所以(0,1,1)，(1,0,1)，所以cos，所以，60，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)ABCD解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1
3、，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，.设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1,2,2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.4若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则(B)AlBlClDl与斜交解析：u2a，ua，则l.5已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(B)ABCD解析：如图所示，由棱柱的体积为，底面正三角形的边长为，可求得棱柱的高为.设
4、P在平面ABC上射影为O，则可求得AO长为1，故AP的长为2.故PAO，即PA与平面ABC所成的角为.6已知三棱锥SABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(D)ABCD解析：如图所示，过点A作ADBC于点D，连接SD；作AGSD于点G，连接GB.SA底面ABC，ABC为等边三角形，BCSA，BCAD.BC平面SAD.又AG平面SAD，AGBC又AGSD，AG平面SBCABG即为直线AB与平面SBC所成的角AB2，SA3，AD，SD2.在RtSAD中，AG，sinABG.二、填空题7(2016云南检测)在正三棱柱ABCA1B
5、1C1中，AB1，点D在棱BB1上，若BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为.解析：如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为，E为AC的中点，连接BE，则BEAC，所以BE平面AA1C1C，可得()1cos (为与的夹角)，所以cos sin ，所以所求角的正切值为tan .8如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.解析：不妨令CB1，则CACC12，可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，所以(0,2，1)，(2,2,1)，所以cos，0.所以与的夹
6、角即为直线BC1与直线AB1的夹角，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为.解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A1(0,0,1)，E，F，D1(0,1,1)，(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又，点F到平面A1D1E的距离为d.三、解答题10如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；(2)
7、求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；(3)求平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小解析：(1)证明：取AB1的中点E，AB的中点F，连接DE，EF，CF.E，F分别是AB1，AB的中点，EFBB1，且EFBB1.三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，D是CC1的中点，CDEF，且CDEF，四边形CDEF为平行四边形，DECF.ABC是正三角形，CFAB.三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1CF，而BB1ABB，CF平面ABB1A1.DECF，DE平面ABB1A1.DE平面AB1D，平面AB1D平面ABB1A1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A，C(0，a,0)，D，B1
8、(0,0，a)，B(0,0,0)，(0，a,0)，设异面直线AB1与BC所成角为，则cos ，故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.(3)由(2)得，.设n(1，y，z)为平面AB1D的一个法向量由得即n.显然平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)则cosm，n，故m，n.即所求二面角的大小为.11如图，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：ABGH；(2)求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值解析：(1)证明：连接EF.D，C，E，F分别是AQ，BQ，A
9、P，BP的中点，EFAB，DCAB，EFDC又DC平面PCD，EF平面PCD，又EF平面EFQ，且平面EFQ平面PCDGH，EFGH.又EFAB，ABGH.(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，ABQ90，即ABBQ.又PB平面ABQ，BA，BQ，BP两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BABQBP2，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，(1，1,2)，(0，1,2)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，由得取z1，得n(0,2,1)又(0,2,0
10、)为平面PAB的一个法向量，cosn，平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为.12如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长解析：(1)证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，(0,1,1)，(a,0,1)，011(1)10，故B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，t)，使得DP平面B1AE，则(0，1，t)设平面B1AE的一个法向量为n(x，y，z)，则有即取x1，可得n.要使DP平面B1AE，只要n，at0，解得t.又DP平面B1AE，存在点P使DP平面B1AE，此时AP.(3)连接A1D，B1C，由AA1AD1，得A1DAD1.B1CA1D，AD1B1C由(1)知B1EAD1，而B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，即是平面A1B1E的一个法向量(0,1,1)，cos，n.二面角AB1EA1的大小是30，a2，即AB2.
