《2018高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5节 椭圆教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5节 椭圆教师用书 文 北师大版（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节第五节 椭椭 圆圆 考纲传真 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的 作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3.理解数形结合思想.4.了解椭 圆的简单应用 1椭圆的定义 (1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作 椭圆这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距 (2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0. 当 2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； 当 2a|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； 当 2a0)的左焦点为F
2、1(4,0)，则m( ) x2 25 y2 m2 A2 B3 C4 D9 B B 由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3 或3.又 m0，故m3. 4(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离 为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为( ) 1 4 A. B 1 3 1 2 C. D 2 3 3 4 B B 如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即bca ， b 2 所以e . c a 1 2 5椭圆1 的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最 x2 4 y2 3 大时，FAB的面积是_ 3 直线
3、xm过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为 4a8，即a2， 此时，|AB|23， b2 a 2 3 2 SFAB 233. 1 2 椭圆的定义与标准方 程 (1)如图 851 所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是 圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点 P，则点P的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 图 851 (2)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0|OF|. P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆 (2)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c， 则F1(c,0)，F2(c,0) AF2x轴，则A(c，b2
4、)(其中c21b2,0|F1F2|这一条件 (2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆 定义，但一定要注意|PF1|PF2|与|PF1|PF2|的整体代换 2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确 定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭 圆方程设为Ax2By21(A0，B0，AB)的形式 变式训练 1 (1)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C x2 a2 y2 b2 上的一点，且. PF1 PF2 若PF1F2的面积为 9，则b_. (2)已知F1(1,0)
5、，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于 A，B两点，且|AB|3，则C的方程为_. 【导学号：66482394】 (1)3 (2)1 (1)由定义，|PF1|PF2|2a，且， x2 4 y2 3 PF1 PF2 |PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2， (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2， 2|PF1|PF2|4a24c24b2，|PF1|PF2|2b2. SPF1F2 |PF1|PF2| 2b29，因此b3. 1 2 1 2 (2)依题意，设椭圆C：1(ab0) x2 a2 y2 b2 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|
6、AB|3， 点A必在椭圆上， (1， 3 2) 1. 1 a2 9 4b2 又由c1，得 1b2a2. 由联立，得b23，a24. 故所求椭圆C的方程为1. x2 4 y2 3 椭圆的几何性质 (2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左 x2 a2 y2 b2 焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段 PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) A. B 1 3 1 2 C D 2 3 3 4 A A 法一：设点M(c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k，从而直线 y0 ac AM的方程为y(x
7、a)，令x0，得点E的纵坐标yE. y0 ac ay0 ac 同理，OE的中点N的纵坐标yN. ay0 ac 2yNyE，即 2a2cac， 2 ac 1 ac e . c a 1 3 法二：如图，设OE的中点为N，由题意知 |AF|ac，|BF|ac，|OF|c，|OA|OB|a. PFy轴， ，. |MF| |OE| |AF| |AO| ac a |MF| |ON| |BF| |OB| ac a 又，即， |MF| |OE| |MF| 2|ON| ac a ac 2a a3c，故e . c a 1 3 规律方法 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析 2求椭圆离心率的主要方法有：(
8、1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求 解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有 e的方程(或不等式)求解 变式训练 2 (2015福建高考)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴 x2 a2 y2 b2 的一个端点为M，直线l：3x4y0 交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直 线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是( ) 4 5 A. B (0， 3 2 (0， 3 4 C. D 3 2 ，1) 3 4，1) A A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a2(|AF|BF|)8，所
9、以a2.又d ，所以 1bb0)的半焦距为c，原点O到经过 x2 a2 y2 b2 两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为 . c 2 图 852 (1)求椭圆E的离心率； (2)如图 852，AB是圆M：(x2)2(y1)2 的一条直径，若椭圆E经过A，B两 5 2 点，求椭圆E的方程 解 (1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距 离d，3 分 bc b2c2 bc a 由dc，得a2b2 ，解得离心率 . 5 分 1 2a2c2 c a 3 2 (2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2. 依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|
10、. 10 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1， 代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20. 8 分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2，x1x2. 8k2k1 14k2 42k124b2 14k2 由x1x24，得4，解得k . 8k2k1 14k2 1 2 从而x1x282b2. 10 分 于是|AB|x1x2| 1(1 2)2 . 5 2 x1x224x1x2 10b22 由|AB|，得，解得b23. 1010b2210 故椭圆E的方程为1. 12 分 x2 12 y2 3 角度 2 由位置关系研究直线的性质 (2015全国卷)已知椭圆C：
11、1(ab0)的离心率为 x2 a2 y2 b2 ，点(2，)在C上 2 22 (1)求C的方程； (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为 M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 解 (1)由题意有，1， a2b2 a 2 2 4 a2 2 b2 解得a28，b24. 3 分 所以C的方程为1. 5 分 x2 8 y2 4 (2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). 7 分 将ykxb代入1，得 x2 8 y2 4 (2k21)x24kbx2b280. 9 分 故xM，yMkxMb.
12、x1x2 2 2kb 2k21 b 2k21 于是直线OM的斜率kOM， yM xM 1 2k 即kOMk . 1 2 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 12 分 规律方法 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程 与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题涉及弦 中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 2设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 1k2x1x224x1x2 (k为直线斜率) (1 1 k2)y1y224y1y2 思想与方法 1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义
13、是关键，应注意定义中的 常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况 2求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不 明确而无法确定其标准方程时，设方程为1(m0，n0，且mn)可以避免讨论和 x2 m y2 n 烦琐的计算，也可以设为Ax2By21(A0，B0，且AB)，这种形式在解题中更简便 3讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法： (1)求得a，c的值，直接代入公式e 求得； c a (2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2a2c2，消去b，转化成 关于e的方程(或不等式)求解 易错与防范 1判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小 2注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则 x2 a2 y2 b2 |x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的 原因 3椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为ac，最小距离为ac.
