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1、1.1 周期现象与周期函数课后导练基础达标1.今天是星期五，九天后的那一天是星期几 （ ）A.五 B.六 C.日 D.一解析：每个星期有7天，97=12,故为星期日.答案：C2.下列函数是周期函数的是（ ）f(x)=x f(x)=2x f(x)=1 f(x)=A. B. C. D.解析：f(x+T)=x+Tx,f(x)不是周期函数，错误.只能从B、C中选，所以只需判断即可，f(x+T)=是周期函数，故正确.答案：C3.下列命题正确的是（ ）A.周期函数必有最小正周期B.只有y=sinx才是周期函数C.y=1的最小正周期为1D.周期函数的定义域一定是无限集解析：由周期函数的定义知A、B、C均错误
2、.答案：D4.已知y=f(x)为最小正周期为2的函数，且f(1)=4,则f(5)等于（ ）A.3 B.2 C.1 D.4解析：y=f(x)中T=2，f(5)=f(22+1)=f(1)=4.答案：D5.下列四个函数为周期函数的是（ ）A.y=1 B.y=3x0C.y=x2 D.y=x解析：由周期函数定义知y=1是周期函数，对于y=3x0,不存在常数T，使f(0+T)=f(0).答案：A6.设f(x)(xR)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（ ）A.-1 B.1 C.2 D.-2解析：f(x)是奇函数，f(-1)=-f(1)=1,f(11)=f(11-34)=
3、f(-1)=1.答案：B7.若f(x)是以为周期的函数，且f()=1,则f(-)=_.解析：f(-)=f(-2)=f()=1答案：18.今天是星期一，158天后的那一天是星期几？解析:158=722+4，而今天是星期一，158天后的那一天是星期五.9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(-x)(xR),证明f(x)为周期函数.证明：由f(x+2)=f(x+1)+1=f-(x+1)=-f(x+1)=-f(-x)=f(x)得，f(x)是周期函数，周期为2.10.求证：若函数y=f(x)(xR)的图象关于x=a对称，且关于x=b对称，则f(x)为周期函数，且2(b-a)是它的一个周期
4、.证明：设x是任意一个实数，因为函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，故f(a+x)=f(a-x)，同理，f(b+x)=f(b-x).于是fx+2(b-a)=fb+(b+x-2a)=fb-(b+x-2a)=f(2a-x)=fa+(a-x)=fa-(a-x)=f(x).所以，f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.综合运用11.定义在实数集上的偶函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当2x3时，f(x)=x,则当-1x0时，f(x)等于（ ）A.4+x B.2+|x+1|C.-2+x D.3-|x+1|解析：当x-1,0时，-x0,1,-x+22,3,f(x)=f(-x)=f(2
5、-x)=2-x,因为3-|x+1|=2-x，f(x)=3-|x+1|.答案：D12.设f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，f(1)1,f(2)=a,则（ ）A.a2 B.a-2C.a1 D.a-1解析：f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a,f(1)=-a1,a-1.答案：D13.函数f(x)的最小正周期为8，且等式f(4+x)=f(4-x)对一切实数都成立，则f(x)是（ ）A.奇函数 B.偶函数C.既奇又偶 D.非奇非偶解析：T=8,且f(4+x)=f(4-x)，f(x)=f(x+8)=f4+(4+x)=f4-(4+x)=f(-x),f(x)为偶函数.答案：B14.设
6、f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间2,3上，f(x)=-2(x-3)2-4，求x1,2时，f(x)的解析式.解析：令x-3，-2，则-x3，2，从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x).即f(x)=-2(x+3)2+4,x-3,-2.令x1，2，则x-4-3，-2，有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4，即x1，2时，f(x)=-2(x-1)2+4.15.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，对任意的x1,x20,，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).（1）设f(1
7、)=2，求f(),f()；（2）证明f(x)是周期函数.（1）解析：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),x1,x20,知f(x)=f()f()0,x0,1,故f(1)=f(+)=f()f()=f()2.因此f(12)=2,又f(1）=2，故f()=f(+)=f()2=2.即f()=2.（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数.拓展探究16.函数满足f(x+2)=f(x-2)，且f(4+x)=f(4-x).若2x6时,f(x)=x2-2
8、bx+c,f(-4)=-14,试比较f(b)与f(c)的大小.解析：由已知f(4+x)=f（4-x）,xR,得x=4是函数f(x)图象的对称轴.又2x6,f(x)=x2-2bx+c,x=4是f(x)=x2-2bx+c,x2,6的对称轴，即=4,b=4.又f(x+2)=f(x-2),f(x)=f(x+2)-2=f(x+2)+2=f(x+4).f(x)是周期函数，周期为T=4.f(-4)=-14,而f(-4)=f(-4+42)=f(4),f(4)=-14.42,6,42-244+c=-14,c=2.当x2,6时，f(x)=x2-8x+2.f(x)在x2,4上是减函数,f(2)f(4),即f(c)f(b).
