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1、3.1 归纳与类比(2)学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A一条中线上的点,但不是中心B一条垂线上的点,但不是垂心C一条角平分线上的点,但不是内心D中心【解析】由正四面体的内切球可知,内切球切于四个面的中心【答案】D2下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比,则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比,则有sin(xy)sin xsin yC把(ab)n与(ab)n类比,则有(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比,则有(xy)
2、zx(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)zx(yz)故选D.【答案】D3设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r,类比这个结论可知:四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体SABC的体积为V,则R()A.BC.D【解析】设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V四面体SABC(S1S2S3S4)R,R.【答案】C4在等差数列an中,若an0,公差d0,则有a4a6a3a7.类比上述性质,在等比数列bn
3、中,若bn0,公比q1,则关于b5,b7,b4,b8的一个不等关系正确的是()Ab5b7b4b8Bb7b8b4b5Cb5b7b4b8Db7b8b4b5【解析】b5b7b4b8b1(q4q6q3q7)b1q3(q1)q6(1q)b1q3(q1)2(1qq2)0,b5b7b4b8.【答案】C5已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则2”若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体ABCD中,若BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”,则()A1B2C3D4【解析】如图,设正四面体的棱长为1,即易知其高AM,此时易知点O即为正四面体
4、内切球的球心,设其半径为r,利用等体积法有4rr,故AOAMMO,故AOOM31.【答案】C二、填空题6(2016日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l2r,二维测度(面积)Sr2,观察发现Sl;三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2,三维测度(体积)Vr3,观察发现VS.已知四维空间中“超球”的三维测度V8r3,猜想其四维测度W_. 【解析】因为V8r3,所以W2r4,满足WV.【答案】2r47在RtABC中,若C90,ACb,BCa,则ABC的外接圆半径为r,将此结论类比到空间有_【解析】RtABC类比到空间为三棱锥ABCD,且ABAC,ABAD,ACAD;ABC的外接圆类比到空
5、间为三棱锥ABCD的外接球【答案】在三棱锥ABCD中,若ABAC,ABAD,ACAD,ABa,ACb,ADc,则三棱锥ABCD的外接球半径R8等差数列有如下性质:若数列an是等差数列,则当bn时,数列bn也是等差数列;类比上述性质,相应地,若数列cn是正项等比数列,则当dn_时,数列dn也是等比数列【解析】类比等差数列与等比数列的性质,可猜测dn时,dn为等比数列【答案】三、解答题9如图3113,在平面内有面积关系,写出图3113中类似的体积关系,并证明你的结论图3113【解】类比,有.证明:如图,设C,C到平面PAB的距离分别为h,h.则,故.10在等差数列an中,若a100,则有等式a1a
6、2ana1a2a19n(n19,nN)成立类比上述性质,相应地,在等比数列bn中,若b91,则有什么样的等式成立?【解】在等差数列an中,由a100,则有a1a2ana1a2a19n(n19,nN)成立,相应地,在等比数列bn中,若b91,则可得b1b2bnb1b2b17n(nb0)与x轴交于A,B两点,点P是椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求证:为定值b2a2;(2)类比(1)可得如下真命题:双曲线1(a0,b0)与x轴交于A,B两点,点P是双曲线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求证为定值,并写出这个定值(不要求写出解题过程)【解】(1)证明如下:设点P(x0,y0)(x0a),依题意,得A(a,0),B(a,0),所以直线PA的方程为y(xa)令x0,得yM,同理得yN,所以yMyN.又因为点P(x0,y0)在椭圆上,所以1,因此y(a2x),所以yMyNb2.因为(a,yN),(a,yM),所以a2yMyNb2a2.(2)(a2b2)