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1、高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数例题与探究 北师大版选修2-2高手支招4典例精析【例1】 求下列函数的导数.(1)y=5-4x3；(2)y=lgx-.思路分析：仔细观察和分析各函数表达式的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本函数的求导公式，对不具备直接求导条件的，可先进行适当的恒等变形.解：(1)y=-12x2；(2)y=+.【例2】质点运动方程是S=，求质点在t=2时的速度.解：S=，S=（）=(t-5)=-5t-6,St=2=-52-6=.答：质点在t=2时的速度是.【例3】在曲线y=上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135.解：设切点P(x0,y0)，则y=-8x-
2、3，y=-8x0-3=tan135=-1，解得x0=2，代入曲线方程得y0=1，所求点坐标为P（2，1）.【例4】(1)求曲线y=sinx在点P()处切线的斜率k；(2)物体运动方程为s=t4-3,求当t=5时物体运动的瞬时速率v.思路分析：本题带有导数应用的味道,必须从导数的概念、几何意义入手.函数在某点处的导数为该函数曲线在该点处的切线的斜率；运动方程在某点处的导数为物体运动的瞬时速度.解：(1)k=y=cosx=；(2)v=s|t=5=t3|t=5=125.【例5】求双曲线y=与抛物线y=交点处切线的夹角的正切值.思路分析：先求出双曲线y=与抛物线y=的交点，然后求出过交点的双曲线切线的
3、斜率和抛物线切线的斜率，此时交点处两条切线的夹角就容易求了.解：联立方程组故交点为（1，1）.双曲线y=,y=,k1=y=-1,故双曲线y=在交点（1，1）处的切线斜率为k1=-1;抛物线y=,y=x,k2=yx=1=,故抛物线y=x在交点（1，1）处的切线斜率为k2=;由夹角公式：tan=3.高手支招5思考发现1.对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误.运算的准确程度是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会做而且要做好的解题标准.2.在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考查函数在切点处的导数y是否为零，当y=0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在.
