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1、高中数学 第一章 统计 1.5 用样本估计总体自主练习 北师大版必修3我夯基我达标1.下列说法正确的是()A.频率分布直方图的高表示该组个体出现的频数B.频率分布直方图的高表示该组上个体出现的频率C.直方图中每组对应的矩形面积就是该组中所含个体的数目D.直方图的高表示该组上的频率与组距的比值思路解析:要理解频率分布直方图和频率分布条形图的区别.答案:D2.一个水库养了某种鱼10万条,从中捕捞了20条,称得它们的质量如下:(单位:千克)1.151.041.111.071.101.321.251.191.151.211.181.141.091.251.211.291.161.241.121.16计
2、算样本平均数,并根据计算结果估计水库里所有这种鱼的总质量约是多少.思路分析:根据样本的数字特征估计总体的数字特征.解:样本平均数为1.17千克,由此可以估计水库里所有这种鱼的总质量大约是1.1710=11.7(万千克).3.某校一年级(2)班10名学生数学测验成绩如下:学生12345678910成绩81859774788773857692分别求出它们的平均数和标准差.思路分析:直接由平均数和标准差的计算公式可得.解:由计算机或科学计算器可得=82.8,s=7.48.4.从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只进行寿命测试,得数据如下(单位:h):1 458,1 395,1 562,1 614
3、,1 351,1 490,1 478,1 382,1 536,1 496.试求这组样本数据的平均数和标准差,并据此估计整个这批灯泡的质量.思路分析:直接由平均数和标准差的计算公式可得,再由这个样本去估计整个总体的情况.解:由计算机或科学计算器求得这组样本数据的平均数是1 476 h,标准差是78.7.在这里,我们更关心的是整个这批灯泡的寿命情况,但这批灯泡不可能全部拿来做试验.因此,我们可以根据这个样本去估计整个总体的情况.5.从某一总体中抽取200个样本后,得到组距与频数如下:10,15),6;15,20),8;20,25),13;25,30),35;30,35),46;35,40),34;
4、40,45),28;45,50),15;50,55),10;55,60,5.则样本在35,80上的频率是()A.0.69B.0.46C.1D.不存在思路解析:首先应得到样本容量为6+8+13+35+46+34+28+15+10+5=200,根据频率分布可知在35,60)上的频率应为(34+28+15+10+5)200=0.46,而在60,80上的频率就是0.答案:B6.据新华社2002年3月12日电,1985年到2000年,我国农村人均居住面积如图1-5-6所示,其中从_年到_年的五年间增长最快.图1-5-6思路解析:从1985年到2000年,每5年为一期,各期的增长依次为3.1,3.2,3.
5、8,末5年,即从1995年到2000年的五年间增长最快.答案:199520007.为了考查某种大麦穗长的分布情况,在一块试验地里抽取了100个麦穗,量得长度如下:(单位:cm)6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.65.85.56.06.55.16.55.35.95.55.86.25.45.05.06.86.05.05.76.05.56.86.06.35.55.06.35.26.07.06.46.45.85.95.76.86.66.06.45.77.46.05.46.56.06.85.86.36.06.35.65.36.45.76.76.25.66.06.76.76.05.
6、56.26.15.36.26.86.64.75.75.75.85.37.06.06.05.95.46.05.26.06.35.76.86.14.55.66.36.05.86.3请画出频率分布直方图,并估计这块试验田里大麦的生长情况.思路分析:用样本估计总体时,虽然从样本数据得到的分布、均值、标准差并不是总体真正的分布、均值、标准差,而只是总体的一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本抽样合理、样本量较大时,它们确实反映了总体的信息.解:取定组距为0.3 cm,组数为12.列表、画频率分布直方图.从图中可以看到,长度在5.156.95 cm范围内的麦穗所占比例是88%,小于5.15 cm和大于
7、6.95 cm的麦穗所占比例很小.样本数据的平均值是5.9 cm,标准差是0.594,由此可以估计整个试验田内麦穗的生长情况是总体平均长度为5.9 cm,总体标准差是0.594.我综合我发展8.某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上,每隔1小时抽一包产品,称其重量是否合格,分别记录.抽查数据如下:甲车间:102,101,99,98,103,98,99乙车间:110,105,94,95,109,89,98问:(1)这种抽样是何种抽样方法?(2)估计甲、乙两车间包装重量的均值与方差,并说哪个均值的代表性好?哪个车间包装重量较稳定?思路分析:由三种抽样方法的定义可知应为系统抽样,直接
8、由平均数和标准差的计算公式可得.解:(1)根据系统抽样方法的定义可知这是系统抽样方法.(2)(102+101+99)=100,(110+105+98)=100;(102-100)2+(99-100)2=3.4286,(110-100)2+(98-100)2=56,这说明甲车间包装重量比乙车间稳定,甲车间的均值100的代表性强.9.为了了解某地儿童生长发育情况,抽查了100名3岁女童的身高(cm),已按数据的大小排列如下:84.484.585.285.786.286.486.987.187.387.687.988.288.488.488.588.789.089.089.189.289.389.3
9、89.489.890.090.190.290.390.490.690.790.891.191.191.191.491.791.791.791.891.992.192.592.592.792.792.892.892.992.993.093.193.293.293.493.593.693.693.693.893.994.094.394.394.494.494.494.594.694.794.894.995.095.195.195.195.595.695.696.096.296.396.496.596.897.097.297.397.397.998.398.498.799.299.399.499.5
10、100.7100.9101.5(1)列出样本数据的频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)利用频率直方图,估计身高在第4、第5两个组的可能性;(4)估计身高不小于90 cm的可能性;(5)利用频率分布表估计身高的平均值.思路分析:在画频率分布直方图的过程中,一定要合理分组,确定恰当的组距,严格按步骤画出频率分布直方图.解:(1)样本数据的极差(最大值与最小值之差)为R=101.5-84.4=17.1,将组距定为2,第1小组起点取为84,则组数为8,样本的频率分布表见下表.身高(cm)频数频率84,86)40.0486,88)70.0788,90)130.1390,92)170.1792,9
11、4)200.2094,96)180.1896,98)110.1198,100)70.07100,10230.03合计1001.00(2)频率分布直方图(见下图).(3)身高在第4、第5两个小组内的可能性的估计为其频率为0.170.20=0.37.(4)身高不小于90 cm的频率为第4至第9组内的频率之和0.76,即身高不小于90 cm可能性的估计值为0.76.(5)身高的均值的估计为(854+877+1013)=92.86.10.对某班50人进行智力测验,其得分如下:4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688
12、694073976856675970527944556962583258(1)这次测验的最大值和最小值是多少?(2)将30,100平分成7个小区间,试画出该班学生智力测验成绩的频数分布图.(3)分析这个频数分布图,你能得到什么结论?思路分析:把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连结起来,就得到频率分布折线图.解:(1)最小值为32,最大值为97.(2)7个区间分别为30,40,40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.每一小区间的长度是10,频数分别为:1,6,12,14,9,6,2.频数分布如下图所示.(3)可以看出,该班智力测验成绩大体上呈两头小、中间
13、大、左右基本对称的钟形状态.说明该班学生智力特别好或特别差的是极少数,而智力一般的是多数.这也是一种最常见的分布.如果样本容量越大,所分组数越多,直方图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取的个数与总体比值的大小.设想如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直方图越来越接近于总体的分布,它可以用一条光滑曲线y=f(x)来描绘,这条光滑曲线叫做总体密度曲线.总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律.智力测验成绩落在(a,b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面积.对本题来说,总体密度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布,总体的数据大致呈对称分布,并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内.
