《高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法教材基础 北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法教材基础 北师大版选修2-2（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 数学归纳法 我们已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明命题,但是在数列和函数中,有大量的关于自然数的不等式,如何证明它们呢？这节课就讨论另一种证明方法数学归纳法.高手支招1细品教材一、数学归纳法状元笔记 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须是真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即命题只要对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法.特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性.如果没有第一步,而仅有第二步,命题也有可
2、能是假命题.一般地,证明一个与正整数n有关的数学命题,可按下列步骤进行:(1)证明当n=1时命题成立.(2)假设n=k(k1,kN*)时命题成立,证明当n=k+1的命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对一切正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.【示例】用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1),其中nN*.思路分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,或增加了哪些项或减少了哪些项,问题就容易解决.证明：(1)当n=1时,左边1+1=2,右边=211=2,等式成立.(
3、2)假设当n=k时,等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2n-1).则当n=k+1时,(k+2)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1)=2k13(2k-1)2(2k+1)=2k+113(2k-1)(2k+1)，即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切nN*,等式成立.二、数学归纳法的特点1.基本特点(1)无穷性:数学归纳法所证明的与正整数有关的命题,实际上就是关于正整数的无穷性命题,命题的无穷性是我们用演绎法无法证明的,所以数学归纳法恰恰就是有效地利用递推关系证明了
4、命题无穷性的正确性.数学归纳法以之独特而简约的语言向我们展示了一种精简的“形”,并且没有损害论证的“神”,反而提供了一种把握“无限”趋势的有常形式,成为“沟通无限同有限的桥梁”.(2)有穷性:与正整数有关的命题具有无穷性,但是数学归纳法的基本步骤是有穷的,仅仅只有两个步骤,但这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有的传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题.数学归纳法之美,就在于由有限推证无限,把无限转化为有限.2.数学归纳法的核心 在验证命题n=1正确的基础上,证明命题具有传递性,第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、
5、切实可行的科学证题方法,实现了有限到无限的飞跃.虽然刚开始接触会觉得“模式固定、呆板”,但经过一定的接触学习后,其各步骤及各步骤间体现出非同寻常的逻辑力量的哲学观点,让人深深体会到其凝练的论证中散发着的简洁和思辨.归纳基础与归纳假设及证明,此二者缺一不可,构成数归法的灵魂,同时,指出了数学归纳法的具体表现:正整数有无穷多个，这也是数学归纳法的精华.对于认识数学归纳法的内涵是十分重要的.三、数学归纳法的主要应用1.用数学归纳法证明不等式问题对与正整数有关的不等式的证明,如果用其他方法比较困难,此时可考虑利用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多
6、地运用不等式的证明等其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.状元笔记 在数学归纳法中,由n=k时成立推证n=k+1也成立是关键和难点,在推证时一般要用到比较法、放缩法、配凑法、分析法等.【示例】求证:+,(n2,nN*).思路分析：本题可在由n=k到n=k+1时的推证过程中应用“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式常用的方法之一.证明：(1)当n=2时,左边=+,不等式成立.(2)假设当n=k(k2,kN*)时命题成立,即+.则当n=k+1时,+=+(-)+(-)+(3-)=,所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对一
7、切n2,nN*均成立.2.用数学归纳法证明整除问题状元笔记 用数学归纳法证明整除问题,P(k)P(k+1)的整式变形是难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P(k)做何种变形.一般地,将n=k+1时P(k+1)的整式分拆配凑成P(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实,这个变形是难点. 对于整数a,b,如果a=bc,c为整数,则能称a能被b整除;对于多项式A,B,如果A=BC,C为整式,则称A能被B整除.由多项式的定义容易得出:对多项式A,B,C,P,如果A能被C整除,那么PA也能被C整除;如果A,B能被C整除,那么A+B或A-B也能被C整除.【示例】用数学归纳法证明下述整除问题:求证:1
8、1n+2+122n+1(nN*)被133整除.思路分析：数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质,若干个数(或整式)都能被某一个数(或整式)整除,则其和、差、积也能被这个数(或整式)整除.证明：(1)当n=1时,113+123=1 331+1 728=3 059=13323能被133整除,当n=1时命题正确;(2)假设当n=k时命题正确,即11k+2+122k+1能被133整除,当n=k+1时,11k+3+122k+3=11(11k+2+122k+1)+122k+3-11122k+1=11(11k+2+122k+1)+122k+1(122-11)=11(11k+2+122k+
9、1)+122k+1133,能被133整除,即当n=k+1时命题也正确;由前面可知命题对nN*都正确.3.用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题时,难点就是在P(k)P(k+1)递推时,找出n=k 到n=k+1时递推公式,这是关键所在.分析增加一条曲线或直线后,点、线段、曲线段、平面块在P(k)的基础上增加了多少,就找出了相应的递推关系.【示例】平面内有n(n2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一个点,证明交点的个数f(n)等于.思路分析：本例的关键是弄清增加一条直线能够增加多少个不同的交点,解此类问题时常运用几何图形的性质.证明：(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又
10、f(2)=2(2-1)=1,因此,当n=2时,命题成立.(2)假设当n=k时(k2)命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)= k(k-1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记为1(如右图).由上面的假设,除1以外的其他k条直线的交点的个数f(k)=k(k-1).另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线1必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不同,且与平面内其他的k(k-1)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数为k(k-1)+k=k(k-1)+2=(k+1)(k+1)-1.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数f(k+1)=(k+1)(k+1)-1.根据(1)(2),可知命题对任何大于1的正整数都成立.高手支招2基础整理数学归纳法是数学证明中的一种方法,数学归纳法主要用于证明与正整数有关的命题,其主要作用根据如下:
