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1、高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数课堂导学 苏教版必修4三点剖析1.二倍角公式应用初步【例1】(1)求coscos的值;(2)求cos20cos40cos80;(3)求的值.思路分析:本题主要涉及给角求值问题,应充分利用倍角公式及变形形式,抓住题目中各角之间的关系.解:(1)coscos=cossin=2cossin=sin=.(2)原式=.(3)=温馨提示 对于这类给角求值的问题,应首先观察题目中各角之间的关系.(1)根据、两角互余,将cos换成sin,再配以系数2即可逆用二倍角公式求值;(2)由于各角之间具有倍数关系,40=220,80=240,故分子分母同乘以sin
2、20,便可逆用二倍角公式求值;(3)由结构特点看应先通分,分子正好逆用两角差的正弦公式,分母逆用二倍角公式,约分后即可求值.2.二倍角公式的变形应用【例2】设sin(-x)=,0x,求的值.思路分析:注意到角之间的关系,2x是x的二倍角,-x与+x互为余角,是特殊角.解法1:0x,0-x,cos(-x)=.又cos(+x)=sin(-x)=,原式= =2cos(-x)=.解法2:cos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=sin(x+)cos(x+)=2sin(x+)cos(x+).原式=2sin(x+)=2cos(-x).后面同解法一.温馨提示 仔细分析
3、角与角的关系,如-x与+x互为余角;2x是x的倍角,且cos2x=sin(2x)=sin2(x).分析角的关系,往往是解题的突破口.3.二倍角变形应用【例3】(1)化简;(2)设(,2),化简解:(1)原式=2|sin4+cos4|+2|cos4|.因为4(,),所以sin40,cos40.故原式=-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos4=-2(sin4+2cos4).(2)因为(,2),所以cos0,cos0.故,原式=温馨提示(1)带有根号的化简问题,首先要去掉根号,想办法将根号内的式子化成完全平方式,即三角函数中常用的解题技巧:“变次”,其中用到了二倍角正弦和余弦
4、的两个重要的变形:1sin=(sincos)2,1cos=2cos2.(2)脱掉根号时要注意符号问题,如|cos|,利用所在的象限,判断cos的正负,然后去掉绝对值符号.各个击破类题演练1化简.(1)cos72cos36;(2)coscoscoscoscos.思路分析:对于(1)要注意72=236;对于(2)要注意(k=1,2,n).注意到以上的特点,可同乘除一个恰当的因式,然后用倍角公式解之.解:(1)cos36cos72=.(2)原式同乘除因式sin,然后逐次使用倍角公式解得原式=.变式提升1已知(,),|cos2|=,则sin的值是( )A. B. C. D.思路分析:(,),sin0,
5、且2(,3),cos20.|cos2|=,cos2=.由cos2=1-2sin2,得sin2=,sin=.答案:D类题演练2已知sin+cos=,且0,求sin2、cos2、tan2的值.解:sin+cos=,sin2+cos2+2sincos=,sin2=-且sincos=0.又0,sin0,cos0,sin-cos0.sin-cos=,cos2=cos2-sin2=(cos+sin)(cos-sin)=()=.tan2=.变式提升2化简.解法1:原式=.解法2:原式=.类题演练3等于( )A.-2cos5 B.2cos5 C.-2sin5 D.2sin5解析:原式=2(cos50-sin50)=2sin(-5)=-2sin5,故选C.答案:C变式提升3已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x0,,求f(x)的最大值、最小值.解:(1)因为f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),所以f(x)的最小正周期T=.(2)因为0x,所以2x+.当2x+=时,cos(2x+)取得最大值;当2x+=时,cos(2x+)取得最小值-1.所以f(x)在0,上的最大值为1,最小值为.