高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦课堂导学 苏教版必修4

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1、高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦课堂导学 苏教版必修4三点剖析1.两角和与差的余弦公式的应用【例1】化简下列各式.(1)sin70cos25-sin20sin25;(2)cos(70+)cos(10+)+sin(70+)sin(170-).思路分析:从整体上观察式子的特点,区别角的异同,利用诱导公式合理转化,凑成公式形式,再利用公式解题.解:(1)原式=cos20cos25-sin20sin25=cos(20+25)=cos45=.(2)原式=cos(70+)cos(10+)+sin(70+)sin180-(10+)=cos(70+)cos(10+)+sin(70+

2、)sin(10+)=cos(70+)-(10+)=cos60=.温馨提示 在逆用公式时,要通过诱导公式变形,使之符合公式的特征,有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.2.两角差的余弦公式的探索与证明【例2】已知sin=,cos=,求cos(-)的值.思路分析:本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知,还须求cos、sin.由条件可知,只要对、所处的象限进行讨论即可.解:sin=0,为第一、二象限角.当为第一象限角时,cos=;当为第二象限角时,cos=-.cos=0,为第一、四象限角.当为第一象限角时,sin=;当为第四象限角时,sin=-.cos(-)=cosc

3、os+sinsin,当、均为第一象限角时,cos(-)=+=;当为第一象限角,为第四象限角时,cos(-)=+(-)=;当为第二象限角,为第一象限角时,cos(-)=(-)+(-)=-;当为第二象限角,为第四象限角时,cos(-)=(-)+-=-.温馨提示 解题时,由结论出发分析题目作了哪些条件准备,还需再求什么,明确解题的目标.已知条件中给出某个角的三角函数值,但并未指出角所在的象限时,一般要进行分类讨论.3.两角和与差的余弦公式的综合应用【例3】已知cos(-)=-,sin(-)=,且(,),(0,),求cos的值.思路分析:本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题,若

4、不考虑条件,盲目地看cos无法求.为此寻求已知条件中角-、-与欲求式中角的关系,不难发现=(-)-(-),这样将cos+的值转化为cos(-)-(-)的值,可利用两角差的余弦公式求得.解:,0,0,+.-,-,.又cos(-)=-,sin(-)=.sin(-)=,cos(-)=.cos+=cos(-)-(-)=cos(-)cos(-)+sin(-)sin(-)=(-)+=.温馨提示 像这类给值求值问题,关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系,即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角,这个过程我们称作“角的变换”.各个击破类题演练1求值.(1)cos24cos36-sin24sin36;(2

5、)cos80cos35+cos10cos55;(3)sin100sin(-160)+cos200(-280);(4)sin347cos148+sin77cos58.解:(1)原式=cos(24+36)=cos60=;(2)原式=cos80cos35+sin80sin35=cos(80-35)=cos45=;(3)原式=sin(180-80)sin(20-180)+cos(20+180)cos(80-360)=sin80(-sin20)+(-cos20)cos80=-sin80sin20-cos80cos20=-(cos80cos20+sin80sin20)=-cos(80-20)=-cos60

6、=-;(4)原式=sin(-13+360)cos(180-32)+sin77cos58=sin(-13)(-cos32)+sin77cos58=-sin13(-cos32)+sin77cos58=cos77cos32+sin77sin32=cos(77-32)=cos45=.变式提升1求值.(1)cos(-15);(2)cos75.解:(1)cos(-15)=cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=;(2)cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=.类题演练2已知锐角、满足sin=,cos=.(1)求cos(-)的值;(

7、2)求+的值.解:(1)sin=,为锐角,cos=.又cos=,为锐角,sin=.cos(-)=coscos+sinsin=2+;(2)由上可知,cos(+)=coscos-sinsin=-.又(0,),(0,),+(0,).+=.变式提升2已知sin=,cos=-,、均为第二象限角,求cos(-)、cos(+).解:由sin=,为第二象限角,cos=又由cos=-,为第二象限角,sin=.cos(-)=coscos+sinsin=(-)(-)+=,cos(+)=coscos-sinsin=(-)(-)-=-.类题演练3已知cos=,、(0,),cos(+)=,求cos.解:cos=,(0,),sin=.又、(0,),+(0,),且cos(+)=.sin(+)=.cos=cos(+)-=coscos(+)+sinsin(+)=()+=.变式提升3已知求cos(-)的值.解:平方得sin2+2sinsin+sin2=.平方得cos2+2coscos+cos2=.以上两式相加得,2+2(coscos+sinsin)=1,2cos(-)=-1,cos(-)=-.

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