《高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理知识巧解学案新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理知识巧解学案新人教a版必修4（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.1 平面向量基本定理疱工巧解牛知识巧学一、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1+2e2. 其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.误区警示 (1)定理中的e1、e2是两个不共线向量；(2)a是平面内任一向量，且实数对1、2是唯一的；(3)平面内的任意两个不共线向量都可以作为一组基底.二、向量的夹角1.已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作=a，=b，则AOB=(0180)叫做a与b的夹角.学法一得 (1)当向量a与b不共线时，a与b的夹角是
2、指从同一点出发的向量a与b所成的角，(0,180).(2)当向量a与b共线时，若同向，则=0；若反向，则=180.综合可知：向量a与b的夹角0,180.2.a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.典题热题知识点一 平面向量的基本定理例1 如图2-3-3，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，用a、b表示、和.图2-3-3思路分析：若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可以与之建立联系.以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系.解：在ABCD中，=+=a+b，=-=a-b，=(a+b)=a-b，=(a-b)=a-b，=a+b，=-=a+b.方法归纳 由平面向量基本定理可知
3、，一个平面内所有向量都可表示为选定基底的线性组合，在用向量法证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时就能够很容易地证明几何命题.例2 如图2-3-4，OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a、b表示、.图2-3-4解：=-=a-b，=a-b,=+=b+a-b=a+b.又=a+b，得=a+b.=-=a-b.例3 已知梯形ABCD，ABCD，M、N是DA、BC的中点，设=e1、=e2，以e1、e2为基底表示、.思路分析：本题考查平面向量的基本定理，关键是找到、与、之间的关系.解：(1)，存在唯一的实数k，使=k，即=ke2(0k1)
4、.图23-5(2)由图2-3-5,可知=-=e1-e2，而=+=e1-e2+ke2=e1+(k-1)e2(0k1).(3)=(+)=(e2+ke2)=(k+1)e2(0k1).知识点二 判定动点P在定直线AB上例4 设、OP是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且=+.证明：(1)由三点共线m、n满足的条件. 若A、B、P三点共线，则与共线，由向量共线的条件知存在实数使=，即-=(-)，=(1-)+.令m=1-，n=，则=m+n且m+n=1.(2)由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线.若=m+n且m+n=1，则=m+(1-m) ，则
5、-=m(-)，即=m.与共线.A、B、P三点共线.由(1)(2)可知，原命题是成立的.思考一下，若m=n=时，如何表示?P点在什么位置?方法归纳 由上题证明可知：对直线AB上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式=(1-t)+t (*)，反之，对每一个数值t，在直线AB上都有唯一的一个点P与之对应；向量式(*)叫做直线AB的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数.此结论为我们提供了判定动点P在定直线AB上的一种方法.当t=时，=(+)，此时P为线段AB的中点，这个公式就是线段AB的中点的向量表达式.知识点三 向量的夹角例5 试指出图2-3-6中向量的夹角.图2-3-6答案：(1)
6、AOB=为两向量的夹角；(2)与的夹角为0，两向量同向共线；(3)与的夹角为180，两向量异向共线；(4)两向量的夹角为.知识点四 利用向量证明三点共线例6 设两非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1，-e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线.思路分析：要证明A、B、D三点共线，需证存在，使=(e1+e2)即可.而若ke1+e2与e1+ke2共线，则一定存在，使ke1+e2=(e1+ke2).解：(1)=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5，、共线.又因两向量有公共点B，A
7、、B、D三点共线.(2)ke1+e2与e1+ke2共线，存在使ke1+e2=(e1+ke2)，则(k-)e1=(k-1)e2.由于e1与e2不共线，只能有则k=1.方法归纳 证明三点共线，可结合题目条件，把e1与e2看作一组基底，从三点中任选两点组成的向量，用e1与e2表示出来，依据向量共线的条件判定向量共线，又因为这两个向量有共同点，所以可证三点共线.问题探究方案设计探究问题 平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具.探究过程: 如图2-3-7，设直线l的倾斜角为(90).在l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，不
8、妨设向量的方向是向上的，那么向量的坐标是(x2-x1,y2-y1).过原点作向量=，则点P的坐标是(x2-x1,y2-y1)，而且直线的倾斜角也是，根据正切函数的定义,得tan=.图2-3-7探究结论:k=tan=就是数学2中已经得到的斜率公式，上述推导过程比数学2中的推导过程简捷的多，由此可见向量作为工具是非常有用的.交流讨论探究问题 我们本节学习了基底的定义，你认为人民币中的元、角、分可以作为基底吗？探究思路:学生甲：基，是事物发展的根本或起点，被看作一个单位的对象一般叫做基；底，即事情的起源.基底是可以表达全部事物中任一事物的数量最少的单位对象的集合.在我们的生活中，人民币的计数单位有元、角、分，表示任意币值的基底是“元”，如10万元，2亿元等.学生乙：这些不能用“角”作为基底来表示吗？学生甲：当然也可以是“角”，更可以是“分”,但由于元、角、分之间存在着换算关系“1元=10角=100分”，因此不能将“元、角、分”作为基底.学生乙：那么现实中不是有7元6角5分的说法吗？这个是不是以“元、角、分”作为基底的？学生甲：事实上，我们同样可以用元来表示这一说法，如7.65元.探究结论:由此我们可以看出作为基底的一个重要原则便是数量最少，但又能表示全部!
