《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角互动课堂学案新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角互动课堂学案新人教a版必修4（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角互动课堂疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底e1,e2,已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=(a1e1+a2e2)(b1e1+b2e2)=a1b1e12+ (a1b2+a2b1)e1e2+a2b2e22.因为e1e1=e2e2=1,e1e2=e2e1=0,故ab=a1b1+a2b2.疑难疏引(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底e1,e2下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a=(a1,a2),b=(b1,b2),如果a
2、b,则a1b1+a2b2=0,反之,若a1b1+a2b2=0,则ab.当ab时,若b1b20,则向量(a1,a2)与(-b2,b1)平行,这是因为ab,a1b1+a2b2=0,即a1b1=-a2b2,.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a1,a2)与(-b2,b1)平行,特别地,向量k(-b2,b1)与向量(b1,b2)垂直,k为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、都垂直.疑难疏引设a=(a1,a2),b=(b1,b2),a1b1+a2b2=0ab且aba1b1+a2b2=0.3.向量的长度、距离和夹角公式(1)已知a=(a1,a2),则|a|2
3、=a2=a12+a22,即|a|=.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),|=.此式可视为A、B两点的距离公式.(2)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),故cosa,b=.特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式.活学巧用1.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45,求实数t的值.解析：利用ab=|a|b|cos建立方程,解方程即可.a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),(a+tb)b=(4+2t,t-3)(2,1)=5t+5,|a+tb|=,由(a+tb
4、)b=|a+tb|b|cos45得5t+5=,即t2+2t-3=0,t=-3或t=1.经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.2.已知点A(2,3),若把向量绕原点O按逆时针旋转90得向量,求点B的坐标.解析：要求点B的坐标,可设为B(x,y),利用,| |=|列方程解决之.设点B坐标为(x,y),因为,| |=|,所以解得或(舍去).所以B点坐标为(-3,2).3.已知a=(2,-4),b=(1,1),求a与b的夹角.解析：向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决.ab=(2,-4)(1,1)=2+-4=-2,|a|b|=cos=.又0180,=60.4.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,求a,b的值.解析：a+b+c=0,a+b=-c.|a+b|=|c|.(a+b)2=c2,即a2+2ab+b2=c2.ab=.cosa,b=(35)= .a,b=.
