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1、课时提升练(六十)几何概型一、选择题1在区间0，上随机取一个数x，则事件“sin xcos x”发生的概率为()A. B. C. D1【解析】sin xcos x，x0，x，事件“sin xcos x”发生的概率为.【答案】C2(文)(2014长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|1的概率为()A. B. C.D.【解析】如图，满足|PA|1的点P在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离|PA|1的概率为.【答案】C2(理)(2014西城模拟)在区间0,2上任取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且只有一个零点的概率是()A.
2、B. C.D.【解析】a0,2，f(x)3x2a0，f(x)是增函数若f(x)在1,1上有且仅有一个零点，则f(1)f(1)0，即(1ab)(1ab)0，则(1ab)(1ab)0.由题意知全部事件的面积为224，满足条件的面积为411，所求概率P，故选D.【答案】D图10683如图1068所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，为半径的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是()A1 B.C1 D.与a的取值有关【解析】由题意知，阴影部分的面积为a242a2，故概率为1.【答案】A4(20
3、14阜阳模拟)一艘轮船从O点的正东方向10 km处出发，沿直线向O点的正北方向10 km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过r km的位置都会受其影响，且r是区间5,10内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是()A.B.1C.1D.2【解析】以O为圆心，r为半径作圆，易知当r5时，轮船会遭受台风影响，所以P2.【答案】D5如图1069，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()图1069A1B.C.D.【解析】法一设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.
4、不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，所以整体图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以阴影部分面积为S32.所以P1.法二设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA2.如图，连接AB，由题意知CAB且S弓形ACS弓形BCS弓形OC，所以S空白SOAB222.又因为S扇形OAB22，所以S阴影2.所以P1.【答案】A6(2014嘉兴模拟)在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为()A.B. C.D.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD及其内部要
5、使函数f(x)x22axb2有零点，则必须有4a24b240，即a2b2，其表示的区域为图中阴影部分故所求概率P.【答案】B二、填空题7如图10610所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终图10610边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_【解析】如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在yOT内的概率为.【答案】8点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_【解析】如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.【答案】9某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，
6、为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为_【解析】依题意得，模型飞行“安全飞行”的概率为3.【答案】三、解答题10设关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3上任取的一个数，b是从区间0,2上任取的一个数，求方程有实根的概率【解】记事件A为“方程x22axb20有实根”，当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A).11在区
7、域内任取一点P，求点P落在单位圆x2y21内的概率【解】如图所示，不等式表示的平面区域是ABC的内部及其边界，又圆x2y21的圆心(0,0)到xy0与xy0的距离均为1，直线xy0与xy0均与单位圆x2y21相切，记“点P落在x2y21内”为事件A，事件A发生时，所含区域面积S，且SABC22，故所求事件的概率P(A).12已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记“a
8、b2”为事件A，求事件A的概率；在区间0,2内任取2个实数x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率【解】(1)依题意，得n2.(2)记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“ab2”的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)所以所求概率为P(A).记“x2y2(ab)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2y24恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为(x，y)|0x2,0y2，x，yR，而事件B构成的区域为B(x，y)|x2y24，(x，y)所以所求的概率为P(B)1.
