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1、2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例高效测评 新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒则所做的铁盒容积最大时，在四角截去的小正方形的边长为()A6 cmB8 cmC10 cmD12 cm解析：设剪去的小正方形边长为x cm，则Vx(482x)24x(24x)2，V(x)4(24x)28x(24x)(1)，令V(x)0可以得x8.答案：B2某商品在最近30天的价格f(t)与时间t(天)的函数关系是f(t)t10(0
2、t30，tN)，销售量g(t)与时间t(天)的函数关系是g(t)t35(0400时，P0恒成立，易知当x300时，总利润最大答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5体积为定值V0的正三棱柱，当它的底面边长为_时，正三棱柱的表面积最小解析：设底面的边长为a，高为h，则V0a2h，h，Sa223aha23a，S，由S0得a，所以当底面的边长为a时，正三棱柱的表面积最小答案：6某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产x的关系是R(x)400x(0x390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是_解析：由题意可得总利润P(x)300x
3、20 000(0x390)P(x)x2300，令P(x)0，得x300.当0x0，当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x)最大答案：300三、解答题(每小题10分，共20分)7某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p24 200x2，且生产x吨的成本为R50 000200x(元)问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)解析：每月生产x吨产品时的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)f(x)x224 000，令f(x)0解得：x200或x200(舍去)因
4、为f(x)在0，)内只有一个点x200使得f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)(200)324 00020050 0003 150 000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元8用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90，再焊接而成，如图，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3.则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)(0x24)令V(x)0，得x110，x236(舍去)当0x0，V(x)是增函数；当10x24时，V(x)0)，则宽为 cm.设纸的利用率为k，于是k(x0)，则k，令k0，即bSax20，解得x 或x (舍)当0x0，k单调递增，当x 时，k0，k单调递减，所以当x 时，k取得最大值，此时 .所以一页报纸的长为cm，宽为cm时，能够最大限度地节约纸张
