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1、2016-2017学年高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法课后演练提升 北师大版选修2-2一、选择题1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时，第一步验证n1时，左边应取的项是()A1B12C123D1234解析：当n1时，左123(13)1234.答案：D2用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，“从nk到nk1”左端需增乘的代数式为()A2k1B2(2k1)C.D.解析：当nk时，左边(k1)(k2)2k，当nk1时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)左端“从nk到nk1”需增乘的代数式为：2(2k1)故选B.答案：B3在数列an中，a12，a
2、n1(n是正整数)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为()A.B.C.D.解析：a12，a2，a3，a4，可推测an，故选B.答案：B4F(n)是一个关于自然数n的命题，若F(k)为真，则F(k1)真，现已知F(20)不真，那么：F(21)不真；F(19)不真；F(21)真；F(18)不真；F(18)真其中正确的结论为()ABCD解析：利用等价命题，若F(k)为真，则F(k1)为真的等价命题为若F(k1)不真，则F(k)不真，所以正确答案：A二、填空题5设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：凸k1边形在凸k边形的基础上增加了一条边，同
3、时内角和增加了一个三角形的内角和即.答案：6用数学归纳法证明关于n的恒等式，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_答案：1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2三、解答题7用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)证明：(1)当n1时，左边112，右边2，等式成立(2)假设当nk(nN)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)两边同乘以得，(k2)(k3)(k1k1)(2k1)(2k2)2k13(2k1)2(2k1)2k113(2k1)(2k1)所以当nk1时等式成立由(1)(2)知对于nN等式成立
4、8已知数列an前n项和为Sn，a1，且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法证明解析：S1a1S22S2S2，S32S3S2S3，S42S4S3S4.猜想：Sn(nN)下面用数学归纳法证明(1)当n1时，左边S1a1，右边.左边右边，原等式成立(2)当nk时，假设Sk成立，由Sk12Sk1Sk得Sk22，Sk1，当nk1时，原等式也成立综合(1)(2)得对一切nN，Sn成立9是否存在常数a、b，使等式1n2(n1)3(n2)(n2)3(n1)2n1n(na)(nb)对一切自然数n都成立，并证明你的结论解析：令n1，得1(1a)(1b)，令n2，得4(2a)(2b)，整理得，解得a1，b2.下面用数学归纳法证明等式：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2)(1)当n1时，由上述解答知等式成立(2)假设nk(k1)时等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)当nk1时，则1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)3k2(k1)11k2(k1)3(k2)(k1)2k1(123kk1)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)这表明nk1时等式也成立由(1)(2)知，等式对一切nN都成立
