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1、第二讲 参数方程,一 曲线的参数方程,1.参数方程的概念 (1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某 个变数t的函数 ,并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. (2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有几何意义或物理意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.,名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与
2、y分别是t的函数.由于横坐标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.,4.参数的意义:如果参数选择适当,那么参数在参数方程中可以有明确的几
3、何意义,也可以有明确的物理意义,可以给问题的解决带来方便,即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数.写参数方程时必须注明哪个字母是参数.,做一做1 以下表示x轴的参数方程的是( ),答案：D,2.圆的参数方程 (1)设圆O的半径是r,点M从初始位置M0(t=0时的位置)出发,按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动,点M绕点O转动的角速度为.以圆心O为原点,OM0所在直线为x轴,建立直角坐标系.如果在时刻t,圆周上某点M转过的角度是,坐标是(x,y),那么=t.设|OM|=r,那,数).这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).,(2)若
4、取为参数,因为=t,于是圆心在原点O,半径为r的圆的参 数方程为 (为参数).其中参数的几何意义是OM0(M0为t=0时点M的位置)绕点O逆时针旋转到 OM的位置时,OM0转过的角度.,名师点拨若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为,【做一做2】 圆x2+y2=16的参数方程为 (为参数).,3.参数方程与普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. (2)一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么 就是曲线的参数方程.
5、(3)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.,特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利用代数恒等式的方法消去参数.,做一做3 (1)将参数方程 (为参数)化为普通方程是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .,解析：(1)由于sin2+cos2=1, 所以x+y=1,并且0x1. (2)设t为参数,令x=t,则y=2t,答案：(1)
6、x+y=1(0x1),思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)参数方程是通过参数反映坐标变量x,y之间的间接联系. ( ) (2)参数方程中的参数没有任何意义. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,参数方程的概念 【例1】 已知曲线C的参数方程为 (t为参数). (1)点M(0,4)是否在曲线C上? (2)若点(a+2,4a)在曲线C上,求实数a的值. 分析：(1)通过参数t的值进行判断;(2)建立实数a的等式求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线位置关系的判断,与平面直角坐标方程下的判
7、断方法是一致的. 2.对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲线上,则f(x1,y1)=0,若点N(x2,y2)不在曲线上,则f(x2,y2)0.同样,对于曲线C的,对应的参数t有解,否则无解,即参数t不存在.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 已知某条曲线C的参数方程为 (t为参数,aR).点M(5,4)在该曲线上,求常数a.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,圆的参数方程及其应用 【例2】 圆的直径AB上有两点C,D,且|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点,求|PC|+|PD|的最大值. 分析：先建立平面直角坐标系,将点P的坐标用圆的参数方
8、程的形式表示出来,为参数,那么|PC|+|PD|就可以用只含有的式子来表示,再利用三角函数等相关知识计算出最大值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：以AB所在直线为x轴,以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系(如图),则点C(-1,0),D(1,0). 因为点P在圆上,所以可设点P的坐标为(5cos ,5sin ).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.圆的参数方程是三角形式,这有利于进行三角代换,运用三角知识解决解析几何中的范围、最值问题,可以使复杂的计算变得十分简洁. 2.当动点的轨迹由圆上的点来决定时,可借助圆的参数方程表示出这一点的坐标,从而建立动点与该点的联系,求得
9、动点的参数方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 如图所示,已知点Q是圆x2+y2=4上的动点,定点P(4,0),若点M满足 ,求点M的轨迹的参数方程.,解：设点M的坐标为(x,y),xOQ=,则点Q的坐标为(2cos ,2sin ).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,参数方程与普通方程的互化 【例3】 (1)将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的曲线. (2)设x=2cos ,为参数,求曲线4x2+y2=16的参数方程. 分析：对于(1),只需消去参数,建立x,y的等式即可;对于(2),将x=2cos 代入曲线方程进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：(1)
10、由已知得t= ,将其代入y=4t中,得4x+3y-4=0. 故所求的普通方程为4x+3y-4=0,它表示的是一条直线. 由y=-1+cos 2可得y=-2sin2,把sin2=x-2代入y=-2sin2可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0.因为2x=2+sin23,所以所求的普通方程是2x+y-4=0(2x3),它表示的是一条线段.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程,在运用代入消元法或加减消元法之前需做必要的变形.另外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,如sin2+cos2=1,
11、(ex+e-x)2-(ex-e-x)2=4,2.把普通方程化成参数方程后,很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视参数的取值范围致误,正解由于0t,则-1cos t1,0sin t1, 所以-3x5,-2y2,于是(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16.因此普通方程为(x-1)2+(y+2)2=16(-3x5,-2y2),
12、它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,半径为4的上半圆.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得本题错解在于忽视了参数t的取值范围,导致方程中x,y的范围出错,从而方程以及对应的曲线出错.在将参数方程化为普通方程时,务必注意参数的取值范围,根据这一范围确定变量x,y的范围.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 将方程 (t为参数)化为普通方程,并说明方程表示什么曲线.,1 2 3 4 5,1.当参数变化时,由点P(2cos ,3sin )所确定的曲线过点( ),解析：令2cos =2,得cos =1,从而sin =0,即3sin =0,所以曲线过点(2,0). 答案：D,1 2 3
13、4 5,2.圆(x-1)2+y2=4上的点可以表示为( ) A.(-1+cos ,sin )(为参数) B.(1+sin ,cos )(为参数) C.(-1+2cos ,2sin )(为参数) D.(1+2cos ,2sin )(为参数),答案：D,1 2 3 4 5,3.将参数方程 (为参数)化为普通方程是( ) A.y=x-2 B.y=x+2 C.y=x-2(2x3) D.y=x+2(0y1) 解析：由于0sin21,所以x=2+sin22,3,故普通方程为y=x-2(2x3). 答案：C,1 2 3 4 5,4.将参数方程 (为参数)化成普通方程为 . 解析：因为 cos2+sin2=1, 所以x2+(y-1)2=1. 因为-1cos 1,-1sin 1, 所以-1x1,0y2. 故所求的普通方程为x2+(y-1)2=1(-1x1,0y2). 答案：x2+(y-1)2=1(-1x1,0y2),1 2 3 4 5,5.已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上任意一点P(x,y),求x+y的最值.,
