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1、第2节 排列与组合,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.排列问题和组合问题的区别是什么? 提示:元素之间与顺序有关的为排列、与顺序无关的为组合. 2.排列数与组合数之间有何关系?,知识梳理,1.排列 (1)排列的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,顺序,(2)排列数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示.,个数,(3)排列数公式: =n(n-1)(n-2)(n-m+1)= (n,
2、mN*,mn),规定0!=1,当m=n时 = .,n!,2.组合 (1)组合的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素 一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,合成,(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合 的 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示.,个数,对点自测,1. 将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) (A)10种 (B)9种 (C)12种 (D)8种,C,2.2名男生4名女生排成一排,则男生不相邻的排法种数为( ) (A)600
3、 (B)480 (C)360 (D)240,B,3.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数为( ) (A)10 (B)20 (C)30 (D)40,B,4.从1,3,5,7,9中任取三个数,从2,4,6,8中任取两个数,则可以组成没有重复数字的五位数的个数为 .,答案:7 200,答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,排列问题,考点一,【例1】 (1) 导学号 18702561 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼-15飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法种数为( ) (
4、A)12 (B)18 (C)24 (D)48,(2)(2016河南南阳模拟)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数是( ) (A)36 (B)48 (C)60 (D)72,反思归纳 (1)解排列问题的两个基本方法:直接法和间接法.(2)基本技巧:相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊元素优先法.,【即时训练】 6个人站成一排,其中甲、乙必须站在两端,且丙、丁相邻,则不同站法的种数为( ) (A)12 (B)18 (C)24 (D)36,组合问题,考点二,【例2】 (1) 导学号 18702562 现有6个白球、4个黑球,任取4个,则至少有2个黑球的取法种数是
5、(A)90 (B)115 (C)210 (D)385,(3)(2016陕西模拟)将甲、乙、丙等六位老师分配到高中三个年级,每个年级2人,要求甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为( ) (A)18 (B)15 (C)12 (D)9,反思归纳 如果元素之间与顺序无关则是组合问题,解题中要根据问题的具体情况辨别是组合问题还是排列问题.在含有限制条件的组合问题中要考虑特殊元素,进行必要的分类和分步,如果正面解答困难,可考虑使用间接法求解.,【即时训练】 (1)(2016辽宁大连质检)某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同
6、的选法共有( ) (A)3种 (B)6种 (C)9种 (D)18种 (2)(2016北京通州模拟)现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) (A)420 (B)560 (C)840 (D)2 160,解析: (1)由题意知有2门A类选修课,3门B类选修课,从中选出3门的选法有 =10(种).两类课程都有的对立事件是选了3门B类选修课,这种情况只有1种.满足题意的选法有10-1=9(种).故选C.,排列与组合的综合问题,考点三,【例3】 (1) 导学号 18702563 某班班会准备从甲、乙等7名学
7、生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( ) (A)360 (B)520 (C)600 (D)720,(2)(2016山西联考)某校从6名教师中选派3名教师同时去3个边远地区支教,每地1人,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方法的种数为( ) (A)36 (B)42 (C)48 (D)60,(3)国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,则不同的分派方法的种数为( ) (
8、A)60 (B)72 (C)90 (D)120,反思归纳 (1)在排列问题中:当可供使用的元素的个数多于使用的元素个数时,需要先选后排;当某些元素的选用受到限制时需要优先把受到限制的元素分情况处理.(2)在分组、分配问题中,要先分组后分配,同时注意区分均匀分组、不均匀分组、部分均匀分组等情况.,【即时训练】 (1) 导学号 18702564 计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有( ) (A)60种 (B)42种 (C)36种 (D)24种,(2)某校4名大学生申请当某次比赛中
9、A,B,C三个项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务A比赛项目,则不同的安排方案共有( ) (A)20种 (B)24种 (C)30种 (D)36种,备选例题,(2)原方程可化为x2-x=5x-5或(x2-x)+(5x-5)=16, 即x2-6x+5=0或x2+4x-21=0.解得x=1,x=5或x=-7,x=3, 经检验x=5和x=-7不合题意, 故原方程的根为1,3.,答案: (1)5 (2)1或3,【例2】 某课外活动小组共有13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依据下列条件
10、各有多少种选法? (1)只有2名女生; (2)两队长当选;,(3)至少有一名队长当选;,(4)至多有两名女生当选.,【例3】 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;,(3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;,(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,元素相同的排列组合的易误点,【典例】10个优秀指标名额分配
11、给6个班级,每个班至少一个,则不同的分配方法的种数为 .,解析:由于是10个名额,故名额和名额之间是没有区别的,不妨把这10个名额在桌面上从左到右一字摆开,这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空档,10个名额之间就出现了9个空档,把这9个空档中的5个空档上各放上一个隔板,就把这10个指标从左到右分成了6份,且满足每份至少一个名额,所以不同的分配方法的种数是 =126.,答案:126,易错提醒:元素是否相同是解题中值得注意的,在一般的排列组合问题中各个元素是不同的,但在一些特殊的问题中元素是可以相同的,如本题,再如用两个1、三个2组成五位数,则只要在5个位置上选两个位置安排1、剩下的位置都安排2即可,一个不同的选法对应一个不同的五位数,即可组成不同的五位数的个数为 =10.,
