《（全国通用）2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用）2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课件理（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3节 函数的奇偶性与周期性,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,经典考题研析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数、偶函数吗?反之,成立吗? 提示:一定是.反之,也成立. 2.如果函数f(x)是奇函数,那么是否一定有f(0)=0? 提示:只有在x=0处有定义的奇函数,才有f(0)=0. 3.函数y=f(x)(xR)是周期函数,则其周期唯一吗?是否有最小正周期? 提示:不唯一.若T是y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ)也是函数的周期.若函数y=f(x)是常数函数,则y=f(x)无最小正周期. 4.若函数y=f(x)
2、满足f(x+a)=f(-x)与f(x+a)=f(x)有什么区别? 提示:前者函数y=f(x)关于直线x= 对称,后者函数是周期函数.,知识梳理,1.奇函数、偶函数的概念及图象特征,原点,任意,原点,y轴,2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【拓展提升】 1.奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(
3、0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集. (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数; 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.,f(x+T)=f(x),存在一个最小,2.周期性的常用结论 设函数y=f(x),xR,a0. (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;
4、 (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a; (3)若f(x+a)= ,则函数的周期为2a; (4)若f(x+a)=- ,则函数的周期为2a. 3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.,解析:易判断A,C为偶函数,B,D为奇函数,但函数y=x2在
5、(0,+)上单调递增,所以选A.,对点自测,A,2.若y=f(x)(xR)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是( ) (A)(a,-f(a) (B)(-a,-f(a) (C)(-a,-f(-a) (D)(a,f(-a),解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a), 所以点(-a,-f(a)在函数y=f(x)图象上.故选B.,B,3.若f(x)是奇函数,且x0时,f(x)=x(2+x),则x0时,f(x)等于( ) (A)x(2-x) (B)-x(2+x) (C)-x(x-2) (D)x(x-2),解析:设x0,即f(-x)=-x(2-x). 又f(x)是奇函数,
6、故f(-x)=-f(x)=-x(2-x), 所以f(x)=x(2-x). 故选A.,A,4.若函数f(x)=x2+ax+1在区间2b-1,3b上是偶函数,则a+b= .,5.导学号 18702038 若函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x(0,2)时, f(x)=3x+2,则f(9)= .,解析:因为f(x+4)=f(x),所以f(x)的一个周期是4, 故f(9)=f(42+1)=f(1)=31+2=5. 答案:5,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,函数奇偶性的判定,解:(3)易知函数的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称. 当x0, 故f(-x)=x2-x=f(x);
7、当x0时,-x0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. (4)f(x)的定义域为1,且f(x)=0, 故f(x)既不是奇函数,又不是偶函数.,判断函数奇偶性的常用方法: (1)定义法: 确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再化简解析式后验证f(-x)=f(x)或其等价形式f(-x)f(x)=0是否成立. (2)图象法:,反思归纳,(3)判断函数奇、偶性除利用定义法和图象法,也可利用性质法判断如下: 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. (4)分段函数奇偶性的
8、判断,要分别从x0或x0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.,解:(1)函数f(x)的定义域是2,它不关于原点对称,因此函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.,解:(4)f(x)的定义域是(-,0)(0,+),关于原点对称. 当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x). 因此f(x)是奇函数.,考点二,函数周期性的应用,解析:(1)因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 所以函数f(x)的周期为
9、2, 所以f(2.5)=f(0.5)=-1,f(f(2.5)=f(-1). 因为f(-1)=-f(-1+1)=-f(0), 所以f(f(2.5)=f(-1)=-1,f(1.5)=-f(0.5)=1, f(f(1.5)=-1,f(2)=f(0)=1. 故选D.,【例2】 (1)导学号 18702039 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= -f(x),且f(x)= 则下列函数值为1的是( ) (A)f(2.5) (B)f(f(2.5) (C)f(f(1.5) (D)f(2),答案:(1)D,(2)(2017广东珠海市第一次联考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,当0x2时
10、,f(x)=4x,则f(- )+f(2)= .,答案:(2)-2,(1)求解与函数的周期性有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.,反思归纳,答案:(1)D,(2)(2017山西四校高三第一次联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的xR,f(x+2)= ,当x-2,0)时,f(x)=log2(x+3),则f(2 017)-f(2 015)= .,答案:(2)-2,考
11、点三,函数奇偶性的应用,【例3】 (1)导学号 18702040 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3,解析:(1)用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C. 答案:(1)C,答案:(2)C,(3)(2016河北唐山三模)若函数y=ln( -x)为奇函数,则a= .,答案:(3)1,函数奇偶性应用的常见题型及求解策略,反思归纳,【即时训练】 (
12、1)(2016湖南衡阳二模)已知f(x)=ax3+bx+1(ab0),若f(2 016)= k,则f(-2 016)等于( ) (A)k (B)-k (C)1-k (D)2-k (2)若函数f(x)=ex+ae-x为偶函数,则a= . (3)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上是增函数,若f(a)f(2),则实数a的取值范围是 .,解析:(1)因为f(2 016)=a2 0163+b2 016+1=k,所以a2 0163+b2 016=k-1, 则f(-2 016)=a(-2 016)3+b(-2 016)+1=-(a2 0163+b2 016)+1=2-k.故选D. (2)因为
13、f(x)=ex+ae-x为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以e-x+aex=ex+ae-x对xR恒成立,所以a=1. (3)由已知f(x)在0,+)上为增函数,且f(a)=f(|a|), 所以f(a)f(2)f(|a|)f(2),所以|a|2,即a2或a-2. 答案:(1)D (2)1 (3)a|a2或a-2,备选例题,解析:因为f(x+1)为偶函数, 所以f(1+x)=f(1-x), 所以f(-x)=f(2+x). 又因为f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 所以f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x), 所以f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(
14、1)=2. 所以f(4)+f(5)=2.故选A.,【例3】 已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为( ) (A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2,函数图象的对称性,经典考题研析 在经典中学习方法,【典例】(2015全国卷)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a等于( ) (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4,审题突破,解析:设(x,y)是函数y=f(x)图象上任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x), 由y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称, 可知(-y,-x)在y=2x+a的图象上,即-x=2-y+a, 解得y=-log2(-x)+a, 所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1, 解得a=2. 故选C.,命题意图:本题主要考查两个函数图象的对称性、函数解析式的求法等基础知识,考查考生的运算求解能力及转化与化归思想、方程思想.,
