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1、第6节 二次函数与幂函数,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.不等式ax2+bx+c0恒成立的条件是什么? 提示:a=b=0,c0或a0且=b2-4ac0时,不论取何值,y的值只能是正的,因此幂函数的图象不能出现在第四象限. 3.两个幂函数最多有几个交点? 提示:两个幂函数最多有三个交点,如y=x3与y=x.,知识梳理,1.二次函数 (1)定义 形如 的函数叫做二次函数. (2)表示形式 一般式:y= ; 顶点式:y= ,其中 为抛物线顶点坐标; 零点式:y= ,其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.,y=ax2+bx+c
2、(a0),ax2+bx+c(a0),a(x-h)2+k(a0),(h,k),a(x-x1)(x-x2)(a0),(3)图象与性质,R,R,2.幂函数 (1)幂函数的概念 形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中x是 ,为 . (2)常见幂函数的图象与性质,自变量,常数,【拓展提升】 1.二次函数图象对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y= f(x)的图象关于x= 对称. (2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).,2.幂函数y
3、=x在第一象限的图象特征 (1)1时,图象过(0,0),(1,1),下凸递增,例如y=x3; (2)00(1)时的图象是抛物线型(1时的图象是竖直抛物线型, 01时的图象是横卧抛物线型),0时的图象是双曲线型.,对点自测,B,2.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-,4上单调递减,则实数a的取值范围是( ) (A)8,+) (B)(-,8 (C)4,+) (D)-4,+),A,3.下列说法中,正确的是( ) (A)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0) (B)当=0时,函数y=x的图象是一条直线 (C)若幂函数y=x的图象关于原点对称,则y=x在定义域内y随x的增大而增大 (D)幂
4、函数y=x,当0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小,D,解析:对于A,0时,幂函数y=x的图象经过点(1,1)和点(0,0),0 时,幂函数y=x的图象经过点(1,1),所以选项A错误; 对于B,=0时,函数y=x(x0),其图象是一条直线,去掉点(0,1),所以选项B错误; 对于C,当=-1时,y=x-1的图象关于原点对称,y=x-1在定义域内y随x的增大而增大不成立,所以选项C错误; 对于D,当0时,幂函数y=x在第一象限内函数值随x值的增大而减小,所以选项D正确.故选D.,4.函数f(x)=3x2+2x+5的值域是 .,5.已知幂函数y=(m2-5m-5)x2m+1在(0,+)上为
5、减函数,则实数m的值 为 .,解析:因为函数y=(m2-5m-5)x2m+1是幂函数, 所以m2-5m-5=1, 解得m=-1或m=6. 当m=6时,给定的函数为y=x13,在(0,+)上为增函数,不符合条件; 当m=-1时,给定的函数为y=x-1,在(0,+)上为减函数,符合条件. 答案:-1,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,幂函数图象与性质,【例1】 (1)导学号 18702062 如图是幂函数在第一象限的图象,则下面四个选项中正确的是( ) (A)a+b+c+d为正数 (B)b+c+d-a可能为零 (C)a-b-c-d为负数 (D)bcda符号不能确定,解析:(1)由幂函数在第一
6、象限的图象,f(x)=xa是减函数,故a0时,n越大,递增速度越快,所以bcd0,所以a+b+c+d符号不能确定,故选项A错误;b+c+d-a一定大于0,故选项B错误;a-b-c-d0,故选项C正确;bcda0,故选项D错误.故选C.,(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究. (2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧:结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较.,反思归纳,解析:(1)由于 0,故可排除选项A,D.根据幂函数的性质可知,当1时,幂函数的图象在第一象限内向下凸,故排除选
7、项C,只有选项B正确.故选B.,考点二,二次函数的图象与性质,考查角度1:二次函数图象的识别 【例2】 在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m0)的图象可能是( ),研究二次函数图象应从“三点一线一开口”三个方面分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.,反思归纳,考查角度2:二次函数图象的应用 【例3】 (2016吉林松原模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a0),已知f(m)0 (D)f(m+1)0,解析:因为f(x)的对称轴为 x=- ,
8、f(0)=a0, 所以f(x)的大致图象如图所示. 由f(m)0, 所以f(m+1)f(0)0.故选C.,求解与二次函数有关的不等式问题,可借助二次函数的图象特征分析不等式成立的条件.,反思归纳,考查角度3:二次函数的最值 高考扫描:2016高考新课标全国卷.,解决“含参数的二次函数的值域与最值”问题一般先用配方法化为y=a(x-h)2+k(a0)的形式,根据对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解. (1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解. (2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是为了
9、明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域. 以y=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最值为例,有如下方法和结论:,反思归纳,考查角度4:二次函数根的分布问题 【例5】 已知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,则实数m的取值范围是 .,答案:m|-3m0,研究二次函数根的分布问题,应结合二次函数的图象与二次方程根的关系数形结合求解,具体方法如下: (只讨论a0的情况,a0的情况):,反思归纳,解析:因为方程f(x)=-2x的两个实数根分别为1和3, 所以设f(x)+2x=a(x-1)(x-3), 则f(x)=a(x-1)(x-
10、3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根, 所以=-(2+4a)2-4a9a=0,整理,得5a2-4a-1=0, 解得a=1或a=- (舍去).故f(x)的解析式为f(x)=x2-6a+3. 答案:f(x)=x2-6a+3,考查角度5:二次函数解析式的求法 【例6】 导学号 18702065 已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a0),且方程f(x)=-2x的两个实数根分别为1和3.若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,则f(x)的解析式为 .,求二次函数解析式常用方法 (1
11、)当已知抛物线上任意三点时,通常设所求二次函数为一般式y=ax2+bx+ c(a,b,c为常数,a0),然后列出三元一次方程组求解. (2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值,则设所求二次函数为顶点式y=a(x+h)2+k(其顶点是(-h,k),a0). (3)当已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),则设所求二次函数为交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0).,反思归纳,考查角度6:二次函数与不等式恒成立问题 【例7】 (2014江苏卷)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是 .,
12、(1)含参数的二次不等式给定区间恒成立问题,若能分离参数,则分离参数转化为最值问题,不能分离参数时,则直接转化为与函数最值有关的不等式. (2)二次函数在R上的恒成立问题,可结合其图象转化为与判别式的符号有关的不等式.,反思归纳,考查角度7:涉及二次函数的复合函数问题,求解与二次函数有关的复合函数问题,应结合二次函数的性质以及复合函数的性质综合分析解答.,反思归纳,备选例题,【例1】 若函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1是幂函数且为偶函数,则当函数g(x) =f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数时,a的取值范围是( ) (A)(-,3 (B)4,+) (C)(-,34,+) (D)3,4,【例3】 (2015湖北卷)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.,忽视对“轴动区间定”的讨论而致误,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,【典例】 若f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间0,1内有最大值-5,则a= .,易错提醒:当已知二次函数在某区间上的最值求参数时,要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况时的最值,建立方程求解参数.同时注意数形结合思想的应用.,
