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1、2.3.2 等比数列的前n项和(二),第二章 2.3 等比数列,1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.会用错位相减法求和,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征,若数列an的前n项和Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和Sn2n11呢？,答案,梳理,当公比q1时，设A ，等比数列的前n项和公式是SnA(qn1) 当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数,知识点二 等比数列前n项和的性质,设an的公比为q，则Sna1a2an， S2nSnan1an2a2n a1qna2
2、qnanqnqnSn， S3nS2na2n1a2n2a3n an1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)， Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，公比为qn.,思考,若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列吗？,答案,梳理 等比数列an前n项和的三个常用性质 (1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列 (2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN) (3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中， q； 在其前2n1项中，S奇
3、S偶a1a2a3a4a2na2n1 (q1),知识点三 错位相减法,在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可,思考,在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列an的前n项和Sna1a2an的？,答案,梳理 如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，一般使用如下方法： Sna1b1a2b2anbn， qSna1b1qa2b2qanbnq a1b2a2b3anbn1， 得(1q)Sna1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1 a1b1d(b2b3bn)anbn1,上述方法称为“错位相减法”,题型探究,类型一 等比数列前n项和公
4、式的函数特征应用,例1 已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列an A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.是等差数列或等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列,当n2时，anSnSn1(a1)an1； 当n1时，a1a1，满足上式， an(a1)an1，nN. a，数列an是等比数列.,答案,解析,(1)已知Sn，通过an 求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1. (2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0， q0且q1，则an是等比数列.,反思与感悟,跟踪训练1 若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t _.,显然q1，此时应有S
5、nA(qn1)，,答案,解析,类型二 等比数列前n项和的性质,命题角度1 连续n项之和问题 例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证： Sn(S2nS3n).,证明,方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，,方法二 根据等比数列的性质SmnSmqmSn， 有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，,处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运
6、用等比数列前n项和的有关性质.,反思与感悟,跟踪训练2 在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.,解答,因为S2n2Sn，所以q1，,命题角度2 不连续n项之和问题,a2a4a6a8 a1qa3qa5qa7q q(a1a3a5a7),答案,解析,注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快.,反思与感悟,跟踪训练3 设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1ba2ba3ba6_., 是首项为b2，公比为2的等比数列.,272,答案,解析,2,类型三 错位相减法求和,解答,一般地，如果数列an是等差数
7、列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.,反思与感悟,跟踪训练4 求和：Snx2x23x3nxn (x0).,当x1时，Sn123n ； 当x1时，Snx2x23x3nxn， xSnx22x33x4(n1)xnnxn1， (1x)Snxx2x3xnnxn1,解答,当堂训练,设最底层所点灯的盏数为a1，,1.一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则最底层所点灯的盏数是 A.190 B.191 C.192 D.193,答案,解析,1,2,3,4,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,方法二 当n1时，a1S1x ； 当n2时，anS
8、nSn12x3n2， an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2， 即2x31x ，解得x .,由题意得S7，S14S7，S21S14组成等比数列48,12,3，即S21S143，S2163.,1,2,3,3.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为 A.180 B.108 C.75 D.63,4,答案,解析,当n1时，a1S13k， 当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k) 3n3n123n1. 由题意知an为等比数列，所以a13k2， k1.,1,2,3,4,4.在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k_.,1,答案,解析,规律与方法,1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断. 2.等比数列前n项和中用到的数学思想： (1)分类讨论思想： 利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论. (2)函数思想：等比数列前n项和Sn (qn1)(q1).设A ， 则SnA(qn1)与指数函数相联系. (3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn， 当成整体求解.,本课结束,
