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1、第2课时 离散型随机变量的方差,第二章 5 离散型随机变量的均值与方差,学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 离散型随机变量的方差,甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为,思考1,试求EX，EY.,答案,思考2,能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？,答案,答案 不能，因为EXEY.,思考3,试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？,答案 方差.,(1)离散型随机变量的方差的含义 设
2、X是一个离散型随机变量，用E(XEX)2来衡量X与EX的 ，E(XEX)2是(XEX)2的 ，称E(XEX)2为随机变量X的方差，记为 . (2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系 方差越 ，随机变量的取值越分散；方差越 ，随机变量的取值就越集中在其均值周围. (3)参数为n，p的二项分布的方差 当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DXnp(1p).,梳理,平均偏离程度,均值,DX,大,小,题型探究,命题角度1 已知分布列求方差,类型一 求离散型随机变量的方差,例1 已知X的分布列如下： (1)求X2的分布列；,解答,从而X2的分布列为,(2)计算X的方差；,解答,(
3、3)若Y4X3，求Y的均值和方差.,解答,解 因为Y4X3， 所以EY4EX32，DY42DX11.,方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DXEX2(EX)2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D(aXb)a2DX.,反思与感悟,跟踪训练1 已知的分布列为 (1)求方差；,解答,(2)设Y2E，求DY.,解答,解 Y2E， DYD(2E)22D43841 536.,命题角度2 未知分布列求方差,例2 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地，每大块地分为
4、n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.假设n4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差.,解答,解 X可能的取值为0,1,2,3,4，,即X的分布列为,(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤 理解X的意义，写出X可能取的全部值. 求X取每个值的概率. 写X的分布列. 求EX，DX. (2)若随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，则EXnp，DXnp(1p).,反思与感悟,跟踪训练2 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直
5、到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差.,解答,解 X的可能取值为1,2,3,4,5.,X的分布列为,由定义知，EX0.2(12345)3. DX0.2(41014)2.,例3 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为 和 . 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 . 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.,类型
6、二 方差的实际应用,解答,解 若按项目一投资，设获利X1万元， 则X1的分布列为,若按项目二投资，设获利X2万元，,则X2的分布列为,EX1EX2，DX1DX2， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.,均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断.,反思与感悟,跟踪训练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量与，且，的分布列为 (1)求a，b的值；,解答,解 由离散型随机变量的分布列的性质，可知a0.10.61，
7、 所以a0.3. 同理，0.3b0.31，所以b0.4.,(2)计算，的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况.,解答,解 E10.320.130.62.3， E10.320.430.32. D(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81， D(12)20.3(22)20.4(32)20.30.6. 由于EE，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高， 但DD，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙， 因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势.,当堂训练,A.0 B.1 C.2 D.3,2,3,4,5,1,1.已知随机变量X的分布列为,解析,答
8、案,2,3,4,1,5,2,3,4,1,2.已知随机变量X的分布列为P(Xk) (k1,2,3)，则D(3X5)等于 A.6 B.9 C.3 D.4,答案,解析,5,2,3,4,1,3.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX0，DX1，则a_，b_.,解析,答案,5,2,3,4,1,4.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知EXEY，DXDY，则自动包装机_的质量较好.(填“甲”或“乙”),答案,解析,解析 在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定， 所以自动包装机乙的质量较好.,乙,5,5.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每
9、位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E和D.,解答,2,3,4,5,1,解 的所有可能取值为0,1,3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，,2,3,4,1,1表示三位同学只有1位同学坐对了，,3表示三位学生全坐对了，即对号入座，,5,所以的分布列为,2,3,4,1,5,规律与方法,1.随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散. 2.随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量.,本课结束,
