《2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时定点、定值、探索性问题课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时定点、定值、探索性问题课件理（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.9 圆锥曲线的综合问题,第3课时 定点、定值、探索性问题,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,题型分类 深度剖析,题型一 定点问题,例1 (2017长沙联考)已知椭圆 1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足 (1)求椭圆的标准方程；,解答,设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2， 又a2b2c2，a23.,(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点.,证明,几何画板展示,由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)， N(
2、x2，y2)，设l方程为xt(ym)，,y1my11，由题意y10，,123，y1y2m(y1y2)0， ,由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0， ,代入得t2m232m2t20， (mt)21， 由题意mt0，mt1，满足， 得直线l方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点.,思维升华,圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,跟踪训练1 (2016河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在
3、x轴上，离心率e ，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BFx轴，|BF| .,解答,(1)求椭圆C的方程；,(2)设直线l：xty是椭圆C的一条切线，点M( ，y1)，点N( ，y2)是切线l上两个点，证明：当t，变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标.,解答,几何画板展示,因为l为切线，所以(2t)24(t22)(22)0， 即t2220. 设圆与x轴的交点为T(x0,0)，,因为MN为圆的直径，,当t0时，不符合题意，故t0.,所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(1,0)与(1,0)， 即椭圆的两个焦点.,题型二 定值问题,例2 (2016广西柳州铁路一中月考)如图，
4、椭圆有两顶点A(1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.,解答,椭圆的焦点在y轴上，,当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1， C(x1，y1)，D(x2，y2).,证明,当直线l的斜率不存在时，与题意不符. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1(k0，k1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，,将两直线方程联立，消去y，,y1y2k2x1x2k(x1x2)1,故点Q的坐标为(k，y0)，,思维升华,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有
5、关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,跟踪训练2 (2016珠海模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点F( ，0)，直线l：x ，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.,解答,(1)求动点Q的轨迹C的方程；,依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP， RQ是线段FP的垂直平分线. 点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|， 又|PQ|是点Q到直线l的距离， 故动点
6、Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x0).,几何画板展示,(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由.,解答,弦长|TS|为定值.理由如下： 取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r,几何画板展示,题型三 探索性问题,例3 (2015四川)如图，椭圆E： 1(ab0)的离心率是 ，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为 .,解答,(1)求椭圆E的方程；,(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P
7、不同的定点Q，使得 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.,解答,几何画板展示,当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点， 如果存在定点Q满足条件，则有,即|QC|QD|， 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0). 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，,解得y01或y02， 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2)，,当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立， 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx1，,A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,其判别式(4k)28(2k21)0，,易知
8、，点B关于y轴对称的点B的坐标为(x2，y2)，,所以kQAkQB，即Q，A，B三点共线，,思维升华,解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.,解答,跟踪训练3 (2015湖北)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3，当栓子D在滑槽
9、AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1) 求曲线C的方程；,几何画板展示,由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，,解答,(2) 设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.,几何画板展示,当直线l的斜率存在时，,可得(14k2)x28kmx4m2160.,因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点， 所以64k2m24(14k2
10、)(4m216)0， 即m216k24. (*1),当且仅当k0时取等号. 所以当k0时，SOPQ的最小值为8.,综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.,典例 (12分)椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、
11、k2，若k20，证明 为定值，并求出这个定值.,设而不求，整体代换,思想与方法系列23,规范解答,思想方法指导,几何画板展示,对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.,返回,解 (1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程 1，得y .,(2)设P(x0，y0)(y00)，,所以直线PF1，PF2的方程分别为,(3)设P(x0，y0)(y00)， 则直线l的方程为yy0k(xx0).,返回,课时作业,1,2,3,4,(1)求椭
12、圆C的标准方程；,解答,得a24，b22.,(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论.,解答,1,2,3,4,证明如下： 设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，,1,2,3,4,1,2,3,4,2.(2016安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E： 1(ab0)的离心率为 ，点( )为椭圆上的一点. (1)求椭圆E的标准方程；,解答,由，解得a26，b24，,1,2,3,4,(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两
13、点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值.,证明,1,2,3,4,设直线l：ykx1，,得(3k22)x26kx90. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则,易知B(0，2)，,1,2,3,4,所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值.,1,2,3,4,3.如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且 1， 1.,解答,(1)求椭圆的标准方程；,a2c21.,a22，b21，,1,2,3,4,(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明
14、理由.,解答,1,2,3,4,假设存在直线l交椭圆于P，Q两点， 且F恰为PQM的垂心， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， M(0,1)，F(1,0)，直线l的斜率k1. 于是设直线l为yxm，,得3x24mx2m220，,1,2,3,4,又yixim(i1,2)， x1(x21)(x2m)(x1m1)0， 即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0. (*),1,2,3,4,故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，,直线l的方程为3x3y40.,1,2,3,4,*4.(2016江西三校第一次联考)已知半椭圆 1(x0)与半椭圆 1(xbc0.如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1
15、，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点.,(1)若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,解答,由题意，得ac2b，,1,2,3,4,(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦.是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点M的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由.,解答,1,2,3,4,记平行弦的斜率为k，当k0时，,1,2,3,4,综上所述，当k0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.,1,2,3,4,当k0时，可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上.,1,2,3,4,
