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1、2.3 数学归纳法,主题 数学归纳法 1.有一串鞭炮相互连接在一起,点着第1个后,整串鞭炮便一个接着一个响了起来,直到最后一个.你知道为什么能响到最后一个? 提示:因为这些鞭炮之间相互连接着.,2.你认为多米诺骨牌游戏中骨牌链能够被成功推倒,靠的是什么条件? 提示:多米诺骨牌所有的骨牌都倒下靠的是两个条件: (1)第一块骨牌被推倒.(2)任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.条件(2)给出了一个递推关系,条件(1)给出了骨牌倒下的基础.,结论: 1.数学归纳法原理: 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取_值n0(n0N*)时命题成 立.,第一
2、个,(2)(归纳递推)假设_(kn0,kN*)时命题成立,证 明当_时命题也成立. 只要完成这两步,就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.,n=k,n=k+1,2.数学归纳法流程:,n=k+1,n0,n=n0,【微思考】 1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示:不一定,如证明n边形的内角和为(n-2)180时,第一个值n0=3.,2.在数学归纳法的定义中为何首先要验证初始值n0? 提示:第一步验证n0是数学归纳法的奠基,是基础,只有当n= n0时命题正确方可进行第二步.,3.对第二步证明n=k+1时为何必须应用n=k时的假设? 提示:不用n=k时的假设就无法构建n=
3、k与n=k+1时的关系,也就失去了它们之间的联系,从而这种证明也就不是数学归纳法.,【预习自测】 1.用数学归纳法证明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是 ( ) A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4,【解析】选C.当n=1时,2n+1=21+1=3,所以左边为1+2+3,故应选C.,2.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】选C.当n取1,2,3,4时,2nn2+1不成立,当n=5时,25=3252+1=26,第一个能使2n
4、n2+1的n值为5.,3.用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”在第二步时,正确的证明法是 ( ) A.假设n=k(kN*)成立,证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数)成立,证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(kN*)成立,证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数)成立,证明n=k+2命题成立,【解析】选D.A,C中,k+1不一定表示正奇数,B中,k+1为偶数,只有D中k为正奇数,k+2为正奇数.,4.用数学归纳法证明:1+a+a2+an+1= (a1, nN*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是 _. 【解析】当n=1时,左边
5、=1+a+a1+1=1+a+a2. 答案:1+a+a2,5.用数学归纳法证明:nN*时,类型一 用数学归纳法证明等式 【典例1】求证:,【解题指南】等式的左边共2n项,右边共n项,当n=k时与当n=k+1时相比左边增二项,右边增一项,而且左、右两边的首项不同,因此由“n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并.,【方法总结】应用数学归纳法证明等式时应注意的三个问题 (1)第一步的验证,对于有些问题验证的并不是n=1,有时需验证n=2,n=3,甚至需要验证n=10.,(2)n=k+1时式子的项数,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化容易弄错.因此对n=k与n=k+1这两个关系式的
6、正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.,(3)“假设n=k(k1,kN*)时命题成立,利用这一假设证明n=k+1时命题成立”,这是应用数学归纳法证明问题的核心环节,因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整,注意证明过程中的严谨性、规范性.,【易错提醒】运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生的变化被弄错. (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了.,(3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k
7、+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性.,【巩固训练】求证:对任何正整数n,类型二 用数学归纳法证明不等式 【典例2】已知nN*,n2,求证:,【解题指南】先求出当n=3时等式左右两边的值,验证不等式成立,然后作出假设:当n=k时不等式成立,接着令n=k+1,将假设得到的结论与不等式的左边比较,可将所证不等式进行化简.,【延伸探究】 1.将本例中所要证明的不等式改为: (n2,nN*),如何证明?,【证明】(1)当n=2时, 不等式成立.,2.将本例中所要证明的不等式改为: (n2,nN*),如何证 明?,【
8、方法总结】用数学归纳法证明不等式的有关技巧 (1)应用归纳假设:证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中要应用归纳假设,有时需要对目标进行适当的放缩来实现. (2)证明方法:在应用归纳假设证明时,在证明过程中,方向不明确时,可采用分析法完成,经过分析找到推证的方向后,再用综合法、比较法等其他方法证明.,【补偿训练】1.用数学归纳法证明:,类型三 用数学归纳法证明整除问题 【典例3】用数学归纳法证明32n+2-8n-9(nN*)能被64整除.,【解题指南】第一步验证当n=1时结论成立,第二步假设n=k(k1,kN*)时等式成立,当n=k+1时,凑出n=k时的式子再证明结论成立.,【
9、证明】(1)当n=1时,321+2-81-9=64,能被64整除, 所以n=1时命题成立.,(2)假设当n=k(k1,kN*)时命题成立,即32k+2-8k-9能被64整除,则当n=k+1时, 32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)能被64整除, 所以n=k+1时命题也成立. 由(1),(2)可知对一切正整数n,32n+2-8n-9能被64整除.,【方法总结】用数学归纳法证明整除问题时,P(k) P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P(k)做何种变形.一般地,将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆凑成P(k)的形式,
10、再利用归纳假设和基本事实证明,这个变形是难点.,【巩固训练】用数学归纳法证明:x2n-1+y2n-1能被x+y整除(nN*).,【证明】当n=1时,x2n-1+y2n-1=x+y,能被x+y整除. 假设当n=k(k1,kN)时,命题成立,即x2k-1+y2k-1能被x+y整除,那么,当n=k+1时,由于 x2(k+1)-1+y2(k+1)-1=x2x2k-1+y2y2k-1 =x2x2k-1+x2y2k-1-x2y2k-1+y2y2k-1 =x2(x2k-1+y2k-1)-(x-y)(x+y)y2k-1,而根据归纳假设,x2k-1+y2k-1能被x+y整除,又(x-y)(x+y)y2k-1也能
11、被x+y整除,故上式能被x+y整除.即当n=k+1时命题也成立. 故命题对一切nN*都成立.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)数学归纳法两个步骤的联系 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二步就作出判断,可能得出不正确的结论.,因为单靠第一步,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有第二步而缺少第一步时,也可能得出不正确的结论,缺少第一步这个基础,假设就失去了成立的前提,第二步也就没有意义了.,(2)数学归纳法适用的范围及应用时应注意的问题 范围:与正整数n有关的数学命题的证明. 注意: (i)验证是证明的基础,递推是证明的关键,二者缺一不可; (ii)在证明n=k+1命题成立时,必须使用归纳假设的结论,否则就不是数学归纳法.,
