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1、2.3 计算导数,1.导函数 一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导 数值记为f(x):f(x)= ,则f(x)是关于x的函数,称f(x)为f(x) 的导函数,通常也简称为导数. 名师点拨函数y=f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系. (1)“函数在点x0处的导数”,就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限,它是一个数值,只与x0有关,与x无关,不是变数. (2)导函数f(x)是对某一区间内任意x而言,是一个函数关系. (3)函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值,即f(x0).,2.
2、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度),名师点拨基本初等函数的导数公式. (1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆:将x与ax对比记忆,两公式最易混淆;将ax与loga x对比记忆,并要强化记忆,这两个公式最难记;将sin x与cos x对比记忆,注意正、负号问题.,【做一做1】 下列结论不正确的是( ),答案:B,【做一做2】 若函数f(x)=ex,则f(x)在点(0,1)处的切线方程为 . 解析:f(x)=ex,f(0)=e0=1,即切线的斜率为1. 故所求切线方程为y-1=1(x-0),即x-y+1=0. 答案:x-y+1=0,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“
3、”,错误的画“”. (1)任何函数都有导函数. ( ) (2)函数f(x)=a2的导函数是f(x)=2a. ( ) (3)常数函数f(x)=c的导数值为0,表示函数在任意点处的切线垂直于y轴,即斜率为0. ( ) (4)奇函数的导数为偶函数. ( ),探究一,探究二,思想方法,利用导数公式求导数 【例1】 求下列函数的导数:,分析:熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,反思感悟求基本初等函数的导数 (1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导. (2)若给出的函数解析式不符合
4、导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成分数指数幂的形式求导.,探究一,探究二,思想方法,变式训练1求下列函数的导数.,解:(1)y=-5x-5-1=-5x-6. (2)y=4xln 4.,探究一,探究二,思想方法,导数公式的应用 【例2】 点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 分析:先利用导数的几何意义确定点P的坐标,再利用点到直线的距离求解.,探究一,探究二,思想方法,反思感悟利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题,解决此类问题的关键是正确地确定所求切线的位置,进而求出切点坐标,或切线方程.,探
5、究一,探究二,思想方法,令y=0,得x=-a. 切线与两坐标轴围成的三角形面积为,a=2.,探究一,探究二,思想方法,数形结合思想的应用 【典例】 讨论关于x的方程ln x=kx解的个数. 分析:通过求导的方法求出曲线y=ln x与直线y=kx相切时k的值,借助图形求解.,解:方程ln x=kx的解的个数就是直线y=kx与曲线y=ln x交点的个数. 设直线y=kx与y=ln x相切(如图所示)时,切点为P(x0,ln x0), 则kx0=ln x0.,探究一,探究二,思想方法,方法点睛导数的几何意义为导数与解析几何问题的沟通搭建了一个平台,因此从这种意义上说,导数也就是数形结合的桥梁,而导数
6、公式是进行导数运算的一个有力工具,比定义法更简单、快捷,所以利用导数公式这一工具,借助数形结合这一有效方法,可以解决很多综合性问题,本例就是借助图形,进行合理转化,把方程解的个数转化为直线与曲线交点个数.,探究一,探究二,思想方法,变式训练抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界),若点P(x,y)是区域D内的任一点,则x+2y的取值范围是 .,解析:由y=x2,得y=2x,从而可知切线的斜率k=2,因此抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 切线y=2x-1与两坐标轴围成的三角形区域为D,如图所示阴影部分.,1 2 3 4 5,1.下列函数满足f(x)=f(x)的是( ) A.f(x)=ex B.f(x)=cos x C.f(x)=sin x D.f(x)=ln x 答案:A,1 2 3 4 5,2.下列选项中正确的是( ),答案:D,1 2 3 4 5,3.若函数f(x)=xn在x=2处的导数值为12,则n= . 解析:由题意知f(2)=n2n-1=12,得n=3. 答案:3,1 2 3 4 5,解析:f(x)=-sin x,1 2 3 4 5,与之垂直的直线斜率为-3.故所求直线方程为y-4=-3(x-8), 即3x+y-28=0.,
