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1、第一章,解三角形,1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一),学习目标 1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 下列说法中，正确的有_. (1)在直角三角形中，若C为直角，则sin A . (2)在ABC中，若ab，则AB. (3)在ABC中，CAB. (4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等. (5)在ABC中，若sin B ，则B .,解析 根据三角函数的定义，(1)正确；
2、 在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确； 三角形的内角和为，(3)正确； AAS可以证明三角形全等，SSA不能证明，(4)不正确； 若sin B ，则B 或 ，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确. 答案 (1)(2)(3),预习导引 1.在RtABC中的有关定理 在RtABC中，C90，则有： (1)AB ，0A90，0B90； (2)a2b2c2(勾股定理)； (3) ； ； .,c,c,c,90,2.正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等， 即 ，这个比值是其外接圆的 . 3.解三角形 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的 .已知三角形的几
3、个元素求其他元素的过程叫做 .,解三角形,直径2R,元素,要点一 正弦定理的推导与证明 例1 在锐角ABC中，证明： .,证明 如图，在锐角ABC中，过点C作CDAB于点D，有 sin A， sin B.,CDbsin Aasin B. . 同理， 成立.,规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有： (1) . (2) . (3)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B. (4)abcsin Asin Bsin C.,跟踪演练1 在钝角ABC中，如何证明 仍然成立？,证明 如图，过点C作CDAB，交AB的延长线于点D，则 sin A，即CDbsin A；
4、sin(180B)sin B， 即CDasin B. 因此bsin Aasin B，即 . 同理可证， .因此 .,要点二 已知两角及一边解三角形 例2 已知ABC，根据下列条件，解三角形： (1)a20，A30，C45；,解 A30，C45；B180(AC)105， 由正弦定理得b 40sin(4560) 10( )； B105，b10( )，c20 .,解 A180(BC)180(6075)45， 由正弦定理 ，,(2)a8，B60，C75.,A45，b4 ，c4( 1).,规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边
5、，再由三角形内角和定理求出第三个角. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.,跟踪演练2 在ABC中，a5，B45，C105，求边c.,解 由三角形内角和定理知ABC180， 所以A180(BC)180(45105)30.,要点三 已知两边及一边的对角解三角形 例3 在ABC中，分别根据下列条件解三角形： (1)a1，b ，A30；,解 根据正弦定理，sin B . ba，BA30，B60或120. 当B60时，C180(AB)180(3060)90， 当B120时，C180(AB)180(30120)30A，ca1.,因为sin A1.所
6、以A不存在，即无解.,(2)a ，b1，B120.,规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.,跟踪演练3 已知ABC，根据下列条件，解三角形： (1)a2，c ，C ；,ca，CA.A .,(2)a2，c ，A .,1.在ABC中，若sin Asin B，则角A与角B的大小关系为( ) A.AB B.A
7、sin B2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)abAB.,A,1,2,3,4,5,2.在ABC中，一定成立的等式是( ) A.asin Absin B B.acos Abcos B C.asin Bbsin A D.acos Bbsin A 解析 由正弦定理 ，得asin Bbsin A，故选C.,C,1,2,3,4,5,3.在ABC中，已知A150，a3，则其外接圆的半径R的值为( ) A.3 B. C.2 D.不确定 解析 在ABC中，由正弦定理得 62R，R3.,A,1,2,3,4,5,4.在ABC中，sin Asin C，则ABC是( ) A.直角三角形 B.等腰三角
8、形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 解析 由sin Asin C知ac， ABC为等腰三角形.,B,1,2,3,4,5,5.在ABC中，已知a ，sin C2sin A，则c_. 解析 由正弦定理，得c 2a .,1,2,3,4,5,课堂小结 1.正弦定理的表示形式： 2R，或aksin A，bksin B，cksin C(k0). 2.正弦定理的应用范围 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角. 3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.,
