《2018高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.2 奇偶性课件 新人教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.2 奇偶性课件 新人教版必修1（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2 奇 偶 性,【自主预习】 主题1：偶函数 1.观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征？,提示：从图象看到，它们的图象都关于y轴对称.,2.上述特征能否用数量间的关系来体现？试着填下表：,9,4,1,0,1,4,9,a2,3,2,1,0,1,2,3,|a|,通过对应值表你发现了什么？ 用文字语言描述：当自变量x取一对相反数时，相应的 两个函数值_. 用符号语言描述：_. ,相同,f(-x)=f(x),偶函数的定义：_ _,如果对于函数f(x)的定义域内任意一,个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.,主题2：奇函数 观察下列两个函数图象，类比偶函数的认知、
2、探究过程，完成下面填空：,-3,-2,-1,0,1,2,3,a,-1,1,用文字语言描述：当自变量x取一对相反数时，相应的 函数值也是一对_ 用符号语言描述：_. 奇函数的定义：_ _,相反数.,f(-x)=-f(x),如果对于函数f(x)的定义域内任意一个,x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.,【深度思考】 结合教材P35例5你认为应怎样判断函数的奇偶性？ 第一步：_. 第二步：_.,求定义域并判断是否关于原点对称,若对称则求f(-x)并判断是否等于f(x)或-f(x),第三步：_ _ _.,若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数，若f(-x),=f(x)，则
3、f(x)是偶函数，若定义域不关于原点对称或,f(-x)-f(x)且f(-x)f(x)，则f(x)不具有奇偶性,【预习小测】 1.下列函数为偶函数的是 ( ) A.y= B.y=x3 C.y=x2 D.y=,【解析】选C.记y=f(x)=x2，由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x)， 所以y=x2是偶函数； 同样的方法可知y= ，y=x3，y= 均不是偶函数.,2.函数f(x)=x+ ( ) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数,【解析】选A.f(x)=x+ 的定义域为x|x0，关于原 点对称，且f(-x)=-x-
4、 = 所以f(x)为 奇函数，但不是偶函数.,3.下列函数中，是奇函数的为 ( ) A.y=x-1 B.y=-2x2 C.y=x5+1 D.y=x3,【解析】选D.A：f(-x)=-x-1-(x-1)=-f(x)， 所以y=x-1不是奇函数，故A不正确. B：y=-2x2是偶函数，故B不正确. C：y=x5+1是非奇非偶函数，故C不正确. D：函数y=x3定义域为R，且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，所以y=x3为奇函数.,4.如果定义在区间2-a，4上的函数f(x)为偶函数，那么a= . 【解析】由2-a=-4，得a=6. 答案：6,5.已知函数y=f(x)为奇函数，若f(3)-
5、f(2)=1， 则f(-2)-f(-3)= . 【解析】函数y=f(x)为奇函数，故f(-x)=-f(x)，则f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1. 答案：1,6.判断下列函数的奇偶性(仿照教材P35例5的解析过程) (1)f(x)=x3+x. (2)f(x)=x2+1.,【解析】(1)对于函数f(x)=x3+x，其定义域为R.因为 对定义域内的每一个x，都有f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x) =-f(x)，所以，函数f(x)=x3+x为奇函数. (2)对于函数f(x)=x2+1，其定义域为R.因为对定义域内 的每一个x，都有f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(
6、x)， 所以，函数f(x)=x2+1为偶函数.,【互动探究】 1.根据函数奇偶性的定义，函数具有奇偶性时定义域有什么特点？ 提示：因为在函数奇偶性的定义中，对任意的一个x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，所以-x也属于定义域，因此奇偶函数的定义域必须关于原点对称.,2.若对定义域内的任意x都有f(-x)+f(x)=0或 =-1(f(x)0)，则对应的函数是不是奇函数？ 提示：根据奇函数的定义知，满足这两种对应关系的函数都是奇函数.,3.若函数图象关于原点对称，则该函数是不是奇函数？ 提示：根据函数的图象特征，结合奇函数的定义知该函数是奇函数.,【探究总结】 知识归纳：,方法总结
7、： (1)根据函数图象的对称性判断奇偶性. (2)运用奇偶函数的定义判断奇偶性 (3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (4)若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)= f(-|x|).,【题型探究】 类型一：函数奇偶性的判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性.,【解析】(1)函数的定义域为0，+)，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性. (2)由 x2=1x=1. 所以f(x)=0，又定义域关于原点对称， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数.,(3)函数f(x)= 的定义域为-1，0)(0，1. 由|x+2|-2=x，所以f
8、(x)= 因为f(-x)= =-f(x)，所以f(x)为奇函数.,(4)分段画出其图象如图所示， 由于图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数.,【规律总结】判断函数奇偶性的两种常用方法 (1)定义法 确定函数的定义域. 看定义域是否关于原点对称， (i)不对称，则函数不具有奇偶性；,(ii)对称 (2)图象法 画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.,【巩固训练】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x2(x2+2)；(2)f(x)=x|x|. 【解析】(1)函数的定义域为R，又因为f(-x) =(-x)2(-x)2+2=x2(x2+2)=f(x)，所以f(x)为偶函数.
9、(2)函数的定义域为R，又因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|= -f(x)，所以f(x)为奇函数.,类型二：奇偶函数的图象问题 【典例2】设奇函数f(x)的定义域为-5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为 .,【解题指南】根据函数的奇偶性，画出函数在区间 -5，0上的图象，根据图象写出不等式的解集.,【解析】由题意，函数f(x)在-5，0上的图象与在0，5上的图象关于原点对称，画出函数f(x)在-5，0上的图象，观察可得f(x)0的解集为(-2，0)(2，5. 答案：(-2，0)(2，5,【延伸探究】 1.(改变问法)本例条件不变，试比较f(-1)与f
10、(-3)的大 小. 【解析】由图象可知，f(1)0，f(3)f(3)， 又函数f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)，f(-3)=-f(3)， 故f(-1)f(-3).,2.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，则结果又是什么？,【解析】由于f(x)是偶函数，y轴右侧图象已知，结合偶函数图象关于y轴对称，作出y轴左侧图象，如图所示， 由图象知，x-5，-2)时，f(x)0；x(2，5时，f(x)0，所以f(x)0的x的取值集合为-5，-2)(2，5.,【规律总结】 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在0，+)(或(-，0)上对应的图
11、象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-，0(或0，+)上对应的函数图象.,2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题. (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.,【巩固训练】下列图象表示的函数具有奇偶性的 是 ( ),【解析】选B.选项A，C，D中的图象既不关于原点对称也不关于y轴对称，对应的函数不具有奇偶性.B中函数图象关于y轴对称，该函数为偶函数.,类型三：利用奇偶性求解析式 【典例3】(2016贵阳高一检测)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x. (
12、1)求出函数f(x)在R上的解析式. (2)画出函数f(x)的图象.,【解题指南】(1)由x0时，f(x)=x2-2x，当x0代入解析式，再利用奇函数的定义求出x0时的图象，利用奇函数的图象关于原点对 称，得出y=f(x)在R上的图象.,【解析】(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数， 则f(0)=0；当x0，因为f(x)是奇函数，所 以f(-x)=-f(x)，所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)= -x2-2x，综上，f(x)=,(2)图象如图.,【规律总结】根据函数奇偶性求解析式的三个步骤 (1)设：要求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间里. (2)代：利用已知区间的解
13、析式代入进行推导. (3)转：根据f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x)，从而解出f(x). 提醒：利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是x=0的情况.,【巩固训练】1.f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)=-2x2+3x+1，求f(x)的解析式. 【解题指南】当x0，代入解析式，再利用f(x)为奇函数，求得解析式.,【解析】当x0，则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1 =-2x2-3x+1，由于f(x)是奇函数， 故f(-x)=-f(x)，所以f(x)=2x2+3x-1， 即当x0时，f(x)=2x2+3x-1， 又f(x)为R上的奇函数，故f(0)=0. 所
14、以f(x)=,2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)=x3+x+1，求f(x)的解析式.,【解析】设x0，则-x0， 由题意知f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1. 又因为f(x)为偶函数， 所以f(-x)=f(x)，所以f(x)=-x3-x+1， 故f(x)的解析式为f(x)=,拓展类型：利用函数的奇偶性求参数 【典例】(2016连云港高一检测)若已知函数f(x)= 是定义在(-1，1)上的奇函数，且 求函 数f(x)的解析式.,【解题指南】要求实数a，b的值，只需列出关于a，b 的两个二元一次方程组，可根据f(x)是奇函数及 列式求解.,【解析】因为f(x
15、)是定义在(-1，1)上的奇函数. 所以f(0)=0，即 所以b=0，经验证知， b=0符合题意.又 所以a=1，所以f(x)=,【规律总结】利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数：根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求参数.,【巩固训练】已知函数f(x)= 是R上的奇函数， (1)求a的值. (2)利用定义证明该函数在1，+)上的单调性. 【解题指南】(1)利用函数是奇函数，由f(0)=0即可得到a的值. (2)利用函数单调性的定义进行判断即可得到结论.,
