《2018高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题课件 文（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题,考向分析,核心整合,热点精讲,阅卷评析,考向分析,考情纵览,真题导航,1.(2015高考四川卷,文21)已知函数f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a0. (1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性; (2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.,备考指要,1.怎么考 导数的综合应用是高考命题的重点与热点,每年高考都会考查这一知识点,具有一定的难度与灵活性. 从知识层面上看,一般考查导数在其他知识中的应用,突出导数的工具性,其中主要包括: (1)利用导数研究多项式函数、幂函
2、数、分式函数、以e为底的对数和指数函数的性质及求参数等综合问题; (2)求最值,以实际问题中的最优化问题形式呈现; (3)把导数与函数、方程、不等式、数列等结合综合考查. 从题目的结构层次上看,常以解答题的形式呈现,第一问一般以抽象导函数值、抽象函数值、切线方程、极值为背景求函数的解析式,或给定参数的值求函数单调区间问题,较为简单;第二问均为和不等式相联系,考查由不等式恒成立求参数的取值范围或参数的最值问题、证明不等式等综合问题,常以压轴题出现,具有一定的难度. 2.怎么办 复习备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值与最值的关系,强化导数的工具性的作用,要认真研究导数与不等式、方程、数列、解析
3、几何的联系,加强导数应用的广泛意识,注重数学思想与方法的应用.,1.利用导数求函数最值的几种情况 (1)若连续函数f(x)在(a,b)内有唯一的极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的 ,f(a),f(b)min是函数f(x)在a,b上的 ;若函数f(x)在(a,b)内有唯一的极小值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的 ,f(a),f(b)max是函数f(x)在a,b上的 . (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 是函数f(x)在a,b上的最小值, 是函数f(x)在a,b上的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 是函数f(x)在a,b上的最大值, 是函数f(
4、x)在a,b上的最小值. (3)若函数f(x)在a,b上有极值点x1,x2,xn(nN*,n2),则将f(x1), f(x2),f(xn)与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是函数f(x)在a,b上的 ,最小的一个是函数f(x)在a,b上的 .,最大值,最小值,最小值,最大值,f(a),f(b),f(a),f(b),最大值,最小值,核心整合,2.不等式的恒成立与能成立问题 (1)f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xI). (2)f(x)g(x)对xI能成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xI).
5、 (3)对x1,x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. (4)对x1D1,x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min,f(x)定义域为D1,g(x)定义域为D2. 3.证明不等式问题 不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.,温馨提示 在解决导数的综合问题时,应注意: (1)树立定义域优先的原则; (2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则; (3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程; (4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.
6、 (5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系: 若f(x)m恒成立,则f(x)maxm; 若f(x)m恒成立,则f(x)minm. 若f(x)m有解,则f(x)minm; 若f(x)m有解,则f(x)maxm.,热点精讲,热点一,利用导数解决与函数有关的不等式恒成立问题,方法技巧 已知不等式f(x,)0(为实参数)对任意的xD恒成立,求参数的取值范围.利用导数解决这个问题的常用思想方法如下: (1)分离参数法: 第一步,将原不等式f(x,)0(xD,为实参数)分离,使不等式的一边是参数,另一边不含参数,即化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式; 第二步,利用导数求出函
7、数f2(x)(xD)的最大(小)值; 第三步,解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min从而求出参数的取值范围. (2)函数思想法: 第一步,将不等式转化为某含参数的函数的最值问题; 第二步,利用导数求出该函数的极值(最值); 第三步,构建不等式求解.,举一反三1-1:(2015甘肃兰州3月诊断)已知函数f(x)=ex-ax(aR,e为自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若a=1,函数g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x在x(2,+)上为增函数,求实数m的取值范围.,解:(1)函数f(x)的定义域为xR.f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,
8、所以f(x)在R上为增函数;当a0时,由f(x)=0得x=ln a.则当x(-,ln a)时,f(x)0,所以函数f(x)在(ln a,+)上为增函数.,热点二,利用导数证明与函数有关的不等式,方法技巧 1.利用导数证明与分式、指数式、对数式函数等相关的不等式的步骤: 第一步,根据待证不等式的结构特征、定义域及不等式的性质,将待证不等式化为简单的不等式; 第二步,构造函数(构造函数的常用方法:作差法、换元法); 第三步,利用导数研究该函数的单调性或最值; 第四步,根据单调性或最值得到待证不等式. 小贴士:在证明过程中要利用一些常见的小结论:exx+1(当x=0时取等号),ln(x+1)x(当x=0时取等号). 2.证明与区间端点有关的不等式的步骤: 第一步,根据待证不等式的结构特点及已知条件,找出与区间端点有关的等量关系与不等关系; 第二步,把等量关系与待证不等式的一边整理; 第三步,利用不等关系得到待证不等式.,备选例题,阅卷评析,【答题启示】 1.会利用函数的性质和方程思想求函数的解析式,会利用基本不等式求函数的最值. 2.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值,会利用导数为工具,证明不等式,能构造函数,结合放缩法和函数最值达到证明目的. 3.会利用导解决求参数的取值范围,根据不等式在某区间上恒成立进行转化为函数的最值问题,同时注意分类讨论思想的合理运用.,
