《2018版高考数学一轮复习选修系列13.2直接证明与间接证明课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学一轮复习选修系列13.2直接证明与间接证明课件理（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.2 直接证明与间接证明,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直接证明,知识梳理,(1)综合法 定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 框图表示： (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论) 思维过程：由因导果,推理论证,(2)分析法 定义：一般地，从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法 (其中Q表示要证明的结论) 思维过程：
2、执果索因,要证明的结论,充分条件,2.间接证明,反证法：一般地，假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明 的证明方法.,不成立,矛盾,原命题成立,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.( ),(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( ) (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( ) (6)证明不等式
3、 最合适的方法是分析法.( ),考点自测,1.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是,答案,解析,a2aba(ab)， a0， a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2.,2.(2016北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多,答案,解析,取两个球往盒子中
4、放有4种情况： 红红，则乙盒中红球数加1； 黑黑，则丙盒中黑球数加1； 红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； 黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1. 因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多.和的情况完全随机，和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.,3.要证a2b21a2b20，只要证明,a2b21a2b20(a21)(b21)0.,答案,解析,a0，b0且ab,答案,解析,答案,解析,f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A、B、C(0，).,题型分类 深
5、度剖析,题型一 综合法的应用,例1 (2016重庆模拟)设a，b，c均为正数，且abc1. 证明：(1)abbcac ；,证明,由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac， 得a2b2c2abbcca， 由题设得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1.,证明,(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,思维升华,跟踪训练1 对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足： 对任意的x
6、0,1，总有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；,证明,取x1x20，则x1x201， f(00)f(0)f(0)，f(0)0. 又对任意的x0,1，总有f(x)0， f(0)0.于是f(0)0.,解答,对于f(x)2x，x0,1， f(1)2不满足新定义中的条件， f(x)2x(x0,1)不是理想函数. 对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.,f(x)x2(x0,1)是理想函数.,综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，,对任
7、意的x1，x20,1，x1x21，,即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.,f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.,例2,题型二 分析法的应用,证明,所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，,故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，,即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，,即证cos(x1x2)1.,引申探究,证明,由于x1，x2R时， 0, 0，,(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. (2)证明较
8、复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.,思维升华,跟踪训练2 (2017重庆月考)设a0，b0,2cab，求证： (1)c2ab；,证明,证明,(ac)2c2aba(ab2c)0成立，,原不等式成立.,题型三 反证法的应用,命题点1 证明否定性命题 例3 等差数列an的前n项和为Sn，a11 ，S393 .,(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；,解答,(2)设bn (nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,证明,假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比
9、数列.,命题点2 证明存在性问题 例4 (2016济南模拟)若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(ab)，则称函数f(x)是a，b上的“四维光军”函数.,解答,由题设得g(x) (x1)21，其图象的对称轴为x1， 区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增. 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，,因为b1，所以b3.,(2)是否存在常数a，b(a2)，使函数h(x) 是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.,解答,解得ab，这与已知矛盾.故不存在.,命题点3 证明唯一性命题 例5 已知M是由满足下述条件的函数构成的集
10、合：对任意f(x)M， 方程f(x)x0有实数根； 函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.,解答,当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根0；,(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立.试用这一性质证明：方程f(x)x0有且只有一个实数根.,证明,假设方程f(x)x0存在两个实数根， ()，则f()0，f()0. 不妨设，根据题意存在c(，)， 满足f()f()()f(c). 因为f()，f()，且，所以f(c)1. 与已知0f(x)1矛盾. 又f(x)x0有实数
11、根， 所以方程f(x)x0有且只有一个实数根.,应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真. 所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.,思维升华,跟踪训练3 已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且00.,证明,f(x)的
12、图象与x轴有两个不同的交点，,f(x)0有两个不等实根x1，x2，,f(c)0，x1c是f(x)0的根，,证明,典例 (12分)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A、C两点，O是坐标原点. (1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长； (2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.,反证法在证明题中的应用,思想与方法系列26,思想方法指导,规范解答,在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意： (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证
13、法的目的. (2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法. (3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去.,返回,(1)解 因为四边形OABC为菱形，,则AC与OB相互垂直平分.,由于O(0,0)，B(0,1)，,(2)证明 假设四边形OABC为菱形，,因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.,设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则,因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，,所以OABC不是菱形，与假设矛盾.,所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形. 12分,返回,课时作业,1.(2017泰安质检)用反证法证明
14、命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是 A.方程x2axb0没有实根 B.方程x2axb0至多有一个实根 C.方程x2axb0至多有两个实根 D.方程x2axb0恰好有两个实根,答案,解析,因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，,所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”.故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016山西质量监测)对累乘运算有如下定义： aka1a2 an，则下列命题中的真命题是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当且仅当xyz时等号成立.,答案,解析,A.都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2,所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知p3q32，证明：pq2.用反证法证明时，可假设pq2； 若a，bR，|a|b|1，求证：方程x2axb0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.以下结论正确的是 A.
