《湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.2.2椭圆及其简单几何性质（1）课件 新人教版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.2.2椭圆及其简单几何性质（1）课件 新人教版选修2-1（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质,-axa,-byb,-bxb,-aya,椭圆的简单几何性质,坐标轴,(0,0),(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),2c,2c,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,2a,2b,(0,1),(0,1),判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点.( ) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c.( ) (3)椭圆的离心率e越接近于1,椭圆越圆.( ) 提示:(1)错误.只有椭圆方程是标准方程时,此说法才正
2、确,而此处并未说明是标准方程,故不正确. (2)正确.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c. (3)错误.离心率e越接近于1,即c越大,这时b越小,椭圆越扁. 答案:(1) (2) (3),【知识点拨】 对椭圆几何性质的六点说明 (1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置.在ab0时,方程 的焦点在x轴上,方程 的焦点在y轴上. (2)椭圆的范围决定了椭圆的大小,即椭圆 位于四 条直线x=a,y=b围成的矩形内.,(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下:,(4)椭圆是轴对称与中心对称图形,具体如下:,(5)椭圆的长轴和短轴都是线段,并不是直线,所以它们有长度,长轴长是2a
3、,短轴长是2b. (6)在椭圆中,a,b,c都具有实际的具体意义,其中 a长半轴长, b短半轴长, c半焦距. 它们之间的关系是a2-b2=c2.,类型 一 利用标准方程研究几何性质 【典型例题】 1.(2013北京高二检测)椭圆x2+8y2=1的短轴的端点坐标 是( ) A.(0,- ),(0, ) B.(-1,0),(1,0) C.(2 ,0),(-2 ,0) D.(0,2 ),(0,-2 ) 2.设椭圆方程为mx2+4y2=4m(m0)的离心率为 ,试求椭圆 的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标.,【解题探究】1.题1中的方程是标准形式吗?如何在标准形式下区分焦点所在的坐标轴? 2.
4、题2中的方程首先应如何处理?能判断出焦点的位置吗?,探究提示: 1.题1中的方程不是椭圆的标准形式,标准形式是 (mn且m0,n0).当mn0时,焦点在x轴上,当nm0时, 焦点在y轴上. 2.首先把此方程化成标准形式,因为不确定焦点的位置, 故需要讨论处理.,【解析】1.选A.把方程化为标准形式得 焦点在x轴上,b2= ,b= , 故椭圆短轴的端点坐标为(0, ).,2.椭圆方程可化为 (1)当0m4时,a=2,b= ,c= , e= m=3,b= ,c=1, 椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,2 ,焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0),顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),
5、B1(0,- ),B2(0, ).,(2)当m4时,a= ,b=2,c= , e= 解得m= a= c= 椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 ,4, 焦点坐标为F1( ),F2( ),顶点坐标为 A1( ),A2 ( ),B1(-2,0),B2(2,0).,【拓展提升】确定椭圆的几何性质的四个步骤 (1)化标准:把椭圆方程化成标准形式. (2)定位置:根据标准方程分母大小确定焦点位置. (3)求参数:写出a,b的值,并求出c的值. (4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.,【变式训练】求椭圆64x2+25y2=400的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标.,【解析】椭圆的方程可化为 1
6、6 ,焦点在y轴上,并且长半轴长a=4,短半轴长b= 半焦距 长轴长2a=8,短轴长2b=5,焦距2c= . 离心率e= ,焦点坐标为(0,- ),(0, ), 顶点坐标为(- ,0),( ,0),(0,-4),(0,4).,类型 二 利用几何性质求标准方程 【典型例题】 1.(2013宜春高二检测)焦距为6,离心率e= ,焦点在x轴上 的椭圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 2.(2013大理高二检测)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.,【解题探究】1.如果只给离心率的值,方程能够确定吗? 2.题2中椭圆的焦点的位置是确定的吗? 探究提示:
7、1.方程不能确定.离心率的值只决定扁平程度,不能确定椭圆的方程. 2.题中给出的条件只是定量条件,并不能确定焦点位置,所以解题时应分情况讨论.,【解析】1.选D.由条件知2c=6且 解得c=3,a=5, 从而b2=a2-c2=16.又椭圆焦点在x轴上,所以椭圆的标准 方程为 2.若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆方程为 (ab0), 椭圆过点A(2,0), =1,a=2. 2a=22b,b=1,方程为 +y2=1. 若椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为 =1(ab0),椭圆过点A(2,0), b=2,由2a=22b,a=4, 方程为 综上所述,椭圆的标准方程为 +y2=1或 =1.,【互动探究】1.题
8、1中,把“焦点在x轴上”去掉,结果如何? 【解析】焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,由于a=5,b2=16, 故标准方程为 或,2.题2中,把“经过点A(2,0)”改为“焦点为(2,0)”,结果如何? 【解析】焦点为(2,0), 椭圆的焦点在x轴上且c=2,由条件知2a=22b, a=2b.又a2-b2=c2, (2b)2-b2=4,即b2= ,a2= , 椭圆的标准方程为,【拓展提升】 1.根据几何性质求椭圆方程的两个关键,2.求椭圆标准方程的一般方法及步骤 (1)基本方法:待定系数法. (2)一般步骤:,类型 三 与离心率有关的问题 【典型例题】 1.(2013大理高二检测)椭圆 的离心率
9、为( ),2.(2012江西高考)椭圆 (ab0)的左、右顶点 分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B| 成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. -2 3.椭圆 (ab0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使APO=90,求椭圆的离心率的取值范围.,【解题探究】1.利用公式求离心率的关键是什么? 2.椭圆的长轴上的顶点到焦点的距离如何表示? 3.求离心率的取值范围的关键是什么? 探究提示: 1.利用公式求离心率的关键是准确确定a和c的值. 2.长轴的顶点到相应焦点的距离为a-c,到另一侧焦点的距离为a+c. 3.求离心率的取值
10、范围的关键是建立a,b,c的齐次不等关系式.,【解析】1.选D.方程 中,a2=16,c2=16-8=8, 离心率 2.选B.因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以 |AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|, |BF1|成等比数列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2, 所以离心率e=,3.设P(x,y),由APO=90知:P点在以OA为直径的圆上. 圆的方程是:(x- )2+y2=( )2y2=ax-x2 又P点在椭圆上,故: 把代入得: (a2-b2)x2-a3x+a2b2=0.,故(x-a)(a2-b2)x-ab
11、2=0, xa,x0 又0 又0e1, 故所求的椭圆离心率的取值范围是 e1.,【拓展提升】椭圆离心率及范围的求法 椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量,它是椭圆的半焦距和长半轴长的比值.由于a,b,c的关系,这个比值可以通过三个量中的任意两个量来刻画.在解决问题的过程中我们更多地用a,c描述,因此,求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下:,(1)定义法:若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定a2,b2, 求出a,c的值,利用公式e= 直接求解. (2)方程法:若椭圆的方程未知,则根据条件建立a,b,c满足的关系式,化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最
12、高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.,【变式训练】(2013安阳高二检测)以正方形ABCD的相对顶点A,C为焦点的椭圆,恰好过正方形四边的中点,则该椭圆的离心率为 . 【解题指南】解题时可先画出草图,结合条件和草图表示出某边中点到A,C的距离,建立方程求出离心率.,【解析】如图,设正方形的边长为2a,令CD的中点为P. 则|PA|= a,|PC|=a,|AC|=2 a, 即长轴长为( +1)a, 焦距长为2 a. 离心率 答案:,【易错误区】忽视椭圆焦点的位置情况致误 【典例】(2013大理高二检测)若椭圆 的离 心率为 ,则k= . 【解析】当焦点在x轴上时 ,a2=k+
13、4,b2=4, c2=k.e= , 即 ,当焦点在y轴上时,a2=4,b2=k+4, c2=-k.由e= , , .k=-1. 综上可知,k= 或k=-1. 答案: 或-1,【误区警示】,【防范措施】 1.性质的转化应用 椭圆的性质是高考的重要内容,特别是与离心率有关的问题. 在利用性质解决问题时要注意题目中的条件转化,如本例离 心率为 ,可以转化为k的方程求解. 2.隐含条件的提防 在解决椭圆方程问题时,要提防题干中的隐含条件,如本例方程 中,形式上好像是k+44,但当k0时,k+44,这时要分情况讨论.,【类题试解】(2013南京高二检测)已知椭圆的长轴长为20, 离心率为 ,则该椭圆的标
14、准方程为 . 【解析】2a=20,e= a=10,c=6,b2=a2-c2=64. 由于椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以所求椭圆 的标准方程为 或 答案: 或,1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶 点是(-10,0),则焦点坐标为( ) A.(13,0) B.(0,10) C.(0,13) D.(0, ) 【解析】选D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10, c2=a2-b2=169-100=69,焦点坐标为(0, ).,2.若m是2和8的等比中项,则椭圆x2+ =1的离心率为( ) A. B. C. D. 【解析】选A.m是2和8的等比中项
15、, m2=28. 解得m=4,m0,m=4.解得e=,3.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 D.10,6,0.6 【解析】选B.把椭圆的方程写成标准形式为 知a=5,b=3,c=4. 2a=10,2b=6, =0.8.,4.椭圆6x2+5y2=30上的点到其焦点的距离的最大值是 ,最小值是 . 【解析】把方程化成标准形式得 这里a2=6,b2=5, c2=a2-b2=1.最大值为a+c= +1,最小值为a-c= -1. 答案: +1 -1,5.已知与椭圆 有相同的离心率且长轴长与 的长轴长相同的椭圆方程为 .,【解析】椭圆 的离心率为e= ,椭圆 的长轴长为4 解得a=2 ,c= ,b2=a2-c2=6. 又所求椭圆焦点既可在x轴上,也可在y轴上, 故方程为 或 答案: 或,6.椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点 到椭圆长轴端点的最短距离为
